Likningssett: Innsettingsmetoden

AlgebraInnsettingsmetodenLikningerLikningssettVariabler

Kort forklart

Hva er et likningssett?

Et likningssett består av to eller flere likninger som hører sammen. Målet er å finne verdier for variablene som gjør at alle likningene stemmer samtidig.

Ofte bruker vi to variabler, for eksempel x og y. Da leter vi etter én verdi for x og én verdi for y som passer i begge likningene.

Eksempel på et likningssett

y = x + 2

2x + y = 11

Romertallene I og II er bare navn på likningene. De gjør det lettere å forklare hvilken likning vi bruker. Senere skal vi se at vi noen ganger må gjøre om en likning før vi kan bruke den videre.

Viktige begreper

Ord du bør kunne

Noen få begreper som er nyttige når vi skal jobbe med likningssett.

↓

Du kan allerede mye om likninger fra før. Her samler vi bare de begrepene som er ekstra viktige når to likninger skal løses sammen.

Likning

En likning er et regnestykke med et likhetstegn. Eksempel: y = x + 2.

Likningssett

Et likningssett er to eller flere likninger som hører sammen. Vi skal finne verdier som gjør at alle likningene stemmer samtidig.

Variabel

En variabel er en bokstav som står for et ukjent tall. I likningssett bruker vi ofte x og y.

Løsning

Løsningen er verdiene for variablene som passer i begge likningene. For eksempel kan løsningen være x = 3 og y = 5.

Å sette inn

Å sette inn betyr å bytte ut en variabel med noe den er lik. Hvis y = x + 2, kan vi sette inn x + 2 der det står y.

Video

Se innsettingsmetoden på video

Videoen viser hvordan du kan løse et likningssett ved å sette uttrykket fra én likning inn i den andre. Legg merke til hvordan målet er å stå igjen med én likning med én ukjent.

Slik gjør du det

Innsettingsmetoden

I innsettingsmetoden bruker vi den ene likningen til å lage et uttrykk for én variabel. Deretter setter vi uttrykket inn i den andre likningen. Her må vi først gjøre om likning II, slik at y står alene.

Eksempel

Pek på en linje for å se hva som skjer i akkurat det steget.

I x + y = 7

II y − 2x = 1

1. Gjør om likning II slik at y står alene

II: y − 2x = 1 starter med likning II

y − 2x + 2x = 1 + 2x legger til 2x på begge sider

y = 1 + 2x y er isolert

y = 2x + 1 samme uttrykk, ryddigere rekkefølge

2. Sett uttrykket for y inn i likning I

I: x + y = 7 bruker likning I

x + (2x + 1) = 7 setter inn for y

3. Løs likningen med én ukjent

x + 2x + 1 = 7 fjerner parentesen

3x + 1 = 7 samler like ledd

3x = 6 trekker fra 1

x = 2 deler på 3

4. Sett x-verdien inn igjen for å finne y

y = 2x + 1 bruker uttrykket fra likning II

y = 2 · 2 + 1 setter inn x = 2

y = 5 regner ut y

Løsning: x = 2 og y = 5. Det betyr at tallparet (2, 5) passer i begge likningene.

Huskeregel: Isoler én variabel først. Sett uttrykket inn i den andre likningen, slik at du får én likning med én ukjent. Finn den første variabelen, og sett svaret inn igjen for å finne den andre.

Prøv selv

Øv på innsettingsmetoden

Velg nivået som passer for deg. I hvert likningssett skal du finne verdier for x og y som gjør at begge likningene stemmer samtidig. Romertallene I og II viser hvilken likning som er hvilken.

Nivå 1: Én variabel står alene

Her er én av likningene allerede klar til å settes inn i den andre.

↓

Tips: Finn likningen der x eller y står alene. Sett uttrykket inn i den andre likningen.

1

I y = x + 2

II 2x + y = 11

Vis fasit

Svar: x = 3 og y = 5Bruk I og sett x + 2 inn for y i II.
2

I x = y + 1

II x + 2y = 10

Vis fasit

Svar: x = 4 og y = 3Bruk I og sett y + 1 inn for x i II.
3

I y = 2x − 1

II x + y = 8

Vis fasit

Svar: x = 3 og y = 5Bruk I og sett 2x − 1 inn for y i II.
4

I 3x + y = 17

II y = x + 1

Vis fasit

Svar: x = 4 og y = 5Bruk II og sett x + 1 inn for y i I.
5

I x = 2y − 1

II x + 3y = 14

Vis fasit

Svar: x = 5 og y = 3Bruk I og sett 2y − 1 inn for x i II.

Nivå 2: Fortegn og valg av likning

Her må du være mer nøye med minus, og du må vurdere om I eller II er best å bruke.

↓

Tips: Når du setter inn et uttrykk med minus, kan det være lurt å bruke parentes rundt uttrykket først.

1

I y = x − 4

II 3x + y = 20

Vis fasit

Svar: x = 6 og y = 2Bruk I og sett x − 4 inn for y i II.
2

I x = 2y + 3

II 2x − y = 18

Vis fasit

Svar: x = 11 og y = 4Bruk I og sett 2y + 3 inn for x i II.
3

I 2x − y = 7

II y = 3x − 8

Vis fasit

Svar: x = 1 og y = −5Bruk II og sett 3x − 8 inn for y i I.
4

I x = 4 − 2y

II 3x + 5y = 17

Vis fasit

Svar: x = 14 og y = −5Bruk I og sett 4 − 2y inn for x i II.
5

I 2x + y = 18

II x = 3y − 5

Vis fasit

Svar: x = 7 og y = 4Bruk II og sett 3y − 5 inn for x i I.

Nivå 3: Koeffisienter og brøker

Her må du isolere først, og alle variablene har koeffisienter.

↓

Tips: Velg gjerne den likningen der det er enklest å få én variabel alene. Noen ganger er det likning I, andre ganger er det likning II.

1

I 2x + 3y = 19

II 4x − 3y = 11

Vis fasit

Svar: x = 5 og y = 3Du kan for eksempel gjøre I om til y = 19 − 2x3, og sette inn i II.
2

I 3x + 2y = 19

II 2x − 4y = −14

Vis fasit

Svar: x = 3 og y = 5Her passer det fint å bruke II: 2x = 4y − 14, altså x = 2y − 7.
3

I 5x − 2y = 12

II 3x + 4y = 28

Vis fasit

Svar: x = 4 og y = 4Du kan for eksempel gjøre I om til y = 5x − 122, og sette inn i II.
4

I 3x2 + 2y = 17

II 4x − 3y = 12

Vis fasit

Svar: x = 6 og y = 4Her kan du bruke II og få y = 4x − 123. Sett uttrykket inn for y i I.
5

I 4x + 3y = 19

II 2x − 5y3 = 0

Vis fasit

Svar: x = 52 og y = 3Her passer det fint å bruke II: 2x = 5y3, altså x = 5y6. Sett dette inn i I.