Å multiplisere to parenteser
Når vi multipliserer to parenteser, må vi passe på at alle leddene i den første parentesen blir ganget med alle leddene i den andre parentesen.
Det betyr at vi ikke bare kan gange de første leddene med hverandre. Hvert ledd må få møte hvert ledd.
Etterpå kan vi ofte gjøre uttrykket enklere ved å trekke sammen like ledd.
Eksempel
Her skal begge leddene i den første parentesen ganges med begge leddene i den andre parentesen.
Viktige begreper
Ord du bør kunne
↓
Ord du bør kunne
Før vi begynner å multiplisere to parenteser, er det lurt å ha kontroll på noen ord som forklarer hva de ulike delene av et algebraisk uttrykk betyr.
Algebraisk uttrykk
Et algebraisk uttrykk består av tall, bokstaver og regnetegn. Eksempel: (x + 3)(x + 4).
Parentes
En parentes viser at noe hører sammen. I (x + 3)(x + 4) har vi to parenteser som skal multipliseres med hverandre.
Ledd
Ledd er delene i et uttrykk som er skilt med pluss eller minus. I x + 3 er x og 3 to ledd.
Faktor
Faktorer er det vi ganger sammen. I (x + 3)(x + 4) er hver parentes en faktor.
Variabel
En variabel er en bokstav som står for et tall vi ikke kjenner, eller et tall som kan variere. Ofte bruker vi x.
Konstant
En konstant er et vanlig tall uten variabel. I x + 4 er 4 konstantleddet.
Koeffisient
Koeffisienten er tallet som står foran en variabel. I 7x er 7 koeffisienten.
Like ledd
Like ledd har samme variabeldel og kan trekkes sammen. For eksempel kan 4x + 3x bli 7x.
Andregradsledd
Når vi ganger x · x, får vi x². Derfor dukker det ofte opp et andregradsledd når vi multipliserer to parenteser.
Å trekke sammen
Å trekke sammen betyr å samle like ledd. For eksempel kan x² + 4x + 3x + 12 skrives som x² + 7x + 12.
Se forklaring på video
Videoen viser hvordan du multipliserer to parenteser med hverandre. Legg merke til at hvert ledd i den første parentesen må ganges med hvert ledd i den andre parentesen.
Krabbeklometoden
Når du skal gange to parenteser med hverandre, må du passe på at hvert ledd i den første parentesen blir multiplisert med hvert ledd i den andre parentesen. En smart huskeregel er krabbeklometoden. Den kalles det fordi de fire buene som viser gangestykkene, kan ligne på en krabbeklo: to buer over uttrykket og to buer under uttrykket.
De fire buene danner en krabbeklo. Buene hjelper deg å huske at hvert ledd i den første parentesen skal ganges med hvert ledd i den andre parentesen.
Start med det første leddet i den første parentesen, og gang det med begge leddene i den andre parentesen.
Gjør det samme med det neste leddet i den første parentesen. Da har du laget alle de fire delene av krabbekloa.
Skriv opp alle leddene, og samle like ledd til slutt.
(x + 2)(x + 3)
= x·x + x·3 + 2·x + 2·3
= x² + 3x + 2x + 6
= x² + 5x + 6
Her ganger vi først x med begge leddene i den andre parentesen, og deretter 2 med begge leddene.
(2x − 1)(x + 4)
= 2x·x + 2x·4 − 1·x − 1·4
= 2x² + 8x − x − 4
= 2x² + 7x − 4
Legg merke til at fortegnet følger leddet. Derfor blir det −1 · x og −1 · 4.
Viktig: Husk at x · x = x². Husk også å samle like ledd til slutt, for eksempel 3x + 2x = 5x.
Huskeregel: Krabbekloa minner deg på at hvert ledd i den ene parentesen skal ganges med hvert ledd i den andre. Da får du fire gangestykker før du samler like ledd.
Minus foran parentes
Når det står minus foran en parentes, må vi være ekstra nøye. Minustegnet gjelder for hele uttrykket inni parentesen. Derfor bytter alle leddene fortegn når parentesen fjernes.
4x − (x + 2)(x − 3)
= 4x − (x² − 3x + 2x − 6)
= 4x − (x² − x − 6)
= 4x − x² + x + 6
= −x² + 5x + 6
Først ganger vi parentesene sammen. Etterpå fjerner vi parentesen med minus foran. Da blir x² til −x², −x til +x, og −6 til +6.
Huskeregel: Minus foran parentes betyr at alle fortegn inni parentesen byttes når parentesen fjernes.
Kvadratsetningene
Kvadratsetningene er smarte snarveier når du ganger ut parenteser som følger bestemte mønstre. Du kan alltid bruke krabbeklometoden, men etter hvert kan du kjenne igjen mønsteret og spare tid.
Første kvadratsetning (plusskvadratet)
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Eksempel: (x + 3)² = x² + 6x + 9
Andre kvadratsetning (minuskvadratet)
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Eksempel: (x − 4)² = x² − 8x + 16
Tredje kvadratsetning (konjugatsetningen)
(a + b)(a − b) = a² − b²
Eksempel: (x + 5)(x − 5) = x² − 25
Legg merke til: I de to første setningene kommer midterste ledd fra to like gangestykker. I den tredje kvadratsetningen forsvinner midterleddene fordi de blir +ab og −ab.
Øv på krabbeklometoden
Velg nivået som passer for deg. Når du ganger to parenteser, skal hvert ledd i den første parentesen ganges med hvert ledd i den andre parentesen. Bruk krabbekloa til å sjekke at du får med alle fire gangestykkene.
Nivå 1: Positive parenteser
Her starter du enkelt. Mot slutten kommer det tall foran x i én eller begge parentesene.
↓
Nivå 1: Positive parenteser
Her starter du enkelt. Mot slutten kommer det tall foran x i én eller begge parentesene.
Tips: Lag fire gangestykker først. Deretter samler du like ledd.
-
1
(x + 1)(x + 2)
Vis fasit
Svar: x² + 3x + 2
-
2
(x + 3)(x + 4)
Vis fasit
Svar: x² + 7x + 12
-
3
(x + 2)(x + 6)
Vis fasit
Svar: x² + 8x + 12
-
4
(2x + 1)(x + 3)
Vis fasit
Svar: 2x² + 7x + 3
-
5
(2x + 3)(3x + 1)
Vis fasit
Svar: 6x² + 11x + 3
Nivå 2: Minus og fortegn
Her må du passe på at fortegnet hører til leddet. De siste oppgavene har minus i begge parentesene.
↓
Nivå 2: Minus og fortegn
Her må du passe på at fortegnet hører til leddet. De siste oppgavene har minus i begge parentesene.
Tips: I uttrykket (x − 2) er det andre leddet −2, ikke bare 2.
-
1
(x − 2)(x + 5)
Vis fasit
Svar: x² + 3x − 10
-
2
(x + 4)(x − 3)
Vis fasit
Svar: x² + x − 12
-
3
(2x − 1)(x + 4)
Vis fasit
Svar: 2x² + 7x − 4
-
4
(3x + 2)(x − 5)
Vis fasit
Svar: 3x² − 13x − 10
-
5
(2x − 3)(3x − 4)
Vis fasit
Svar: 6x² − 17x + 12
Nivå 3: Ledd foran og minus foran parentesuttrykk
Her kommer det et ekstra ledd foran. Utover i nivået må du også bytte fortegn etter at parentesene er ganget ut.
↓
Nivå 3: Ledd foran og minus foran parentesuttrykk
Her kommer det et ekstra ledd foran. Utover i nivået må du også bytte fortegn etter at parentesene er ganget ut.
Husk: Hvis det står minus foran hele parentesuttrykket, må alle fortegn i svaret fra parentesene byttes.
-
1
2 + (x + 1)(x + 3)
Vis fasit
Svar: x² + 4x + 5 Fordi (x + 1)(x + 3) = x² + 4x + 3.
-
2
3x + (x + 2)(x − 4)
Vis fasit
Svar: x² + x − 8 Fordi (x + 2)(x − 4) = x² − 2x − 8.
-
3
5 − (x + 1)(x + 2)
Vis fasit
Svar: −x² − 3x + 3 Minus foran parentesuttrykket gjør at x² + 3x + 2 blir −x² − 3x − 2.
-
4
4x − (x + 2)(x − 3)
Vis fasit
Svar: −x² + 5x + 6 Fordi (x + 2)(x − 3) = x² − x − 6.
-
5
2x + 3 − (2x − 1)(x + 4)
Vis fasit
Svar: −2x² − 5x + 7 Fordi (2x − 1)(x + 4) = 2x² + 7x − 4.
