Pytagoras setning

GeometriPytagoras

Pytagoras’ setning

Kort forklart

Pytagoras’ setning gjelder rettvinklede trekanter. Kvadratet på hypotenusen har like stort areal som kvadratene på de to katetene til sammen. Sett navn på sidene før du regner: c er hypotenusen, mens a og b er kateter. Du skal kunne finne både hypotenusen og en ukjent katet.

Du bør kjenne begrepene fra «Linjer, figurer og vinkler». Bruk kalkulator ved behov, og avrund først i siste linje.

Viktige begreper

Ord du bør kunne

Rettvinklet trekant

En trekant med én vinkel på 90°.

Kateter a og b

De to sidene som møtes i den rette vinkelen.

Hypotenus c

Siden rett overfor 90°-vinkelen. Den er lengst.

Kvadratrot

√25 = 5, fordi 5² = 25. Når vi finner en lengde, bruker vi den positive roten.

Se sammenhengen

Hvorfor fungerer Pytagoras?

Vi tegner ett kvadrat på hver side av en rettvinklet trekant. Arealet til kvadratet på hypotenusen er nøyaktig like stort som de to andre kvadratenes arealer til sammen.

Alle tre kvadratene er tegnet i samme målestokk. Den lille vinkelen i trekanten er 90°.

3² + 4² = 5²9 cm² + 16 cm² = 25 cm²Altså: a² + b² = c²

a og b kalles kateter. c er hypotenusen – siden som ligger mot den rette vinkelen. Setningen gjelder bare for rettvinklede trekanter.

Videoer

Se hvordan Pytagoras brukes

Start med forklaringen av rettvinklede trekanter og hypotenusen. Se deretter hvordan du finner en ukjent katet. Videoene lastes bare når du trykker.

Åpne videoen på YouTube

Slik gjør du det

Regn steg for steg

Begynn med å finne den rette vinkelen og hypotenusen. På PC kan du holde musepekeren over hvert regnesteg for en forklaring. På mobil står forklaringen under steget.

Eksempel 1 · Finn hypotenusen

En rettvinklet trekant har kateter på 3 cm og 4 cm. Hvor lang er hypotenusen?

Katet a = 3 cmKatet b = 4 cmHypotenus c = ?

Utregning · Hold over eller fokuser på en linje for forklaring

c² = a² + b²velg formel

c² = 3² + 4²sett inn

c² = 9 + 16 = 25regn ut

c = √25 = 5 cmta kvadratroten

Svar: Hypotenusen er 5 cm.

Eksempel 2 · Hypotenus med desimaltall

Katetene er 7 cm og 9 cm. Finn hypotenusen. Rund av til to desimaler.

Katet a = 7 cmKatet b = 9 cmHypotenus c = ?

Utregning · Hold over eller fokuser på en linje for forklaring

c² = 7² + 9²sett inn

c² = 49 + 81 = 130kvadrer og summer

c = √130ta kvadratroten

c ≈ 11,40 cmavrund

Svar: Hypotenusen er omtrent 11,40 cm.

Eksempel 3 · Finn en ukjent katet

Hypotenusen er 13 cm, og én katet er 5 cm. Finn den andre kateten.

Katet a = ?Katet b = 5 cmHypotenus c = 13 cm

Utregning · Hold over eller fokuser på en linje for forklaring

a² + b² = c²start med formelen

a² + 5² = 13²sett inn

a² = 13² − 5²trekk fra

a² = 169 − 25 = 144regn ut

a = √144 = 12 cmta kvadratroten

Svar: Den ukjente kateten er 12 cm.

Eksempel 4 · Diagonal i et rektangel

Et rektangel er 12 cm langt og 9 cm bredt. Hvor lang er diagonalen?

Lengde = 12 cmBredde = 9 cmDiagonal d = ?

Utregning · Hold over eller fokuser på en linje for forklaring

d² = 12² + 9²finn trekanten

d² = 144 + 81 = 225regn ut

d = √225 = 15 cmta kvadratroten

Svar: Diagonalen er 15 cm.

Eksempel 5 · Stige mot en vegg

En stige er 5 m lang. Foten står 1,5 m fra en loddrett vegg på vannrett bakke. Hvor høyt opp når stigen?

Avstand = 1,5 mHøyde h = ?Stige = 5 m

Utregning · Hold over eller fokuser på en linje for forklaring

h² + 1,5² = 5²identifiser sidene

h² = 5² − 1,5²trekk fra

h² = 25 − 2,25 = 22,75regn ut

h = √22,75 ≈ 4,77 mavrund

Svar: Stigen når omtrent 4,77 m opp på veggen.

Eksempel 6 · Er trekanten rettvinklet?

En trekant har sider på 7 cm, 24 cm og 25 cm. Undersøk om den er rettvinklet.

Side a = 24 cmSide b = 7 cmLengste side c = 25 cm

Utregning · Hold over eller fokuser på en linje for forklaring

7² + 24² ?= 25²velg lengste side

49 + 576 = 625regn venstre side

25² = 625regn høyre side

7² + 24² = 25²sammenlign

Svar: Ja, trekanten er rettvinklet.

Huskeregel

Tre uttrykk du trenger

Selve setningena² + b² = c²

Finne hypotenusenc = √(a² + b²)

Finne en kateta = √(c² − b²)

Pluss når du finner hypotenusen. Minus når du finner en katet. c er alltid den lengste siden og ligger rett overfor vinkelen på 90°. Husk å ta kvadratroten til slutt.

Prøv selv

Oppgaver på tre nivåer

Regn på ark og tegn en skisse når det hjelper. Vis utregning, og prøv selv før du åpner fasiten. Svar med to desimaler når du trenger å avrunde.

Nivå 1

Kom i gang med begreper og enkle beregninger.

Katetene er 3 og 4 cm. Finn hypotenusen.
Vis fasit og forklaring
c = √(3² + 4²) = √25 = 5 cm.
Katetene er 6 og 8 cm. Finn hypotenusen.
Vis fasit og forklaring
c = √(36 + 64) = 10 cm.
Hypotenusen er 5 cm og én katet er 3 cm. Finn den andre.
Vis fasit og forklaring
a = √(25 − 9) = 4 cm.
Hypotenusen er 10 cm og én katet er 8 cm. Finn den andre.
Vis fasit og forklaring
a = √(100 − 64) = 6 cm.
Katetene er 5 og 12 cm. Finn hypotenusen.
Vis fasit og forklaring
c = √(25 + 144) = 13 cm.

Nivå 2

Bruk reglene, kombiner steg og finn ukjente mål.

Et rektangel er 9 cm × 12 cm. Finn diagonalen.
Vis fasit og forklaring
Diagonalen er hypotenus: d = √(81 + 144) = 15 cm.
En 10 m lang stige står 6 m fra en loddrett vegg på vannrett bakke. Hvor høyt når den?
Vis fasit og forklaring
h = √(10² − 6²) = √64 = 8 m.
Hypotenusen er 17 cm og en katet er 8 cm. Finn den andre.
Vis fasit og forklaring
a = √(289 − 64) = √225 = 15 cm.
Katetene er 2,5 og 6 cm. Finn hypotenusen.
Vis fasit og forklaring
c = √(6,25 + 36) = √42,25 = 6,5 cm.
Katetene er 7 og 9 cm. Finn hypotenusen med to desimaler.
Vis fasit og forklaring
c = √(49 + 81) = √130 ≈ 11,40 cm.

Nivå 3

Forklar, vurder og løs sammensatte problemer.

En trekant har sider 7, 24 og 25 cm. Er den rettvinklet?
Vis fasit og forklaring
Den lengste siden er 25. 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25². Ja, den omvendte Pytagoras-setningen viser rett vinkel.
En trekant har sider 4, 5 og 6 cm. Er den rettvinklet?
Vis fasit og forklaring
4² + 5² = 41, men 6² = 36. Nei.
Et rektangel har diagonal 13 cm og bredde 5 cm. Finn lengde og areal.
Vis fasit og forklaring
l = √(169 − 25) = 12 cm. A = 12 · 5 = 60 cm².
En rettvinklet trekant har hypotenus 20 cm og én katet 12 cm. Finn omkrets og areal.
Vis fasit og forklaring
Annen katet = √(400 − 144) = 16 cm. O = 48 cm. A = 12 · 162 = 96 cm².
En elev skriver c = 3 + 4 = 7 når katetene er 3 og 4. Forklar og rett feilen.
Vis fasit og forklaring
Vi legger sammen kvadratene, ikke lengdene: c² = 9 + 16 = 25. Derfor c = 5 cm.

Pytagoras setning