Sammensatte figurer

GeometriSammensatte figurer

Sammensatte figurer

Kort forklart

En sammensatt figur kan deles i kjente deler. Velg mellom å legge sammen delene eller trekke bort et utsnitt fra en større figur. For omkrets følger du bare ytterkanten. For overflate av romfigurer skal kontaktflater mellom delene ikke telles med.

Du bør kjenne begrepene fra «Linjer, figurer og vinkler». Bruk kalkulator ved behov, og avrund først i siste linje.

Viktige begreper

Ord du bør kunne

Del opp

Finn kjente figurer uten overlapp, og summer areal eller volum.

Trekk fra

Beregn en større hel figur og trekk fra hullet eller utsnittet.

Ytterkant

Grensen rundt figuren. Indre hjelpelinjer inngår ikke i omkretsen.

Kontaktflate

Flate der to romfigurer møtes. Den blir skjult inne i den sammensatte figuren.

Video

Se og lær

Videoene viser både oppdeling av flate figurer og beregning av volumet til sammensatte romfigurer.

Slik gjør du det

Regn steg for steg

Se figuren, velg en framgangsmåte og følg regnestegene. Hold musepekeren over et regnesteg for en kort forklaring. På mobil står forklaringen under steget.

Eksempel 1 · L-form: trekk fra et hjørne

Et rektangel på 8 cm × 6 cm har mistet et hjørne på 3 cm × 2 cm. Finn areal og omkrets.

Hele bredden 8 cmUtsnittets bredde 3 cm

A_stor = 8 · 6 = 48 cm²hele rektangelet

A_utsnitt = 3 · 2 = 6 cm²det som er tatt bort

A = 48 − 6 = 42 cm²trekk fra

O = 8 + 4 + 3 + 2 + 5 + 6 = 28 cmfølg ytterkanten

Svar: A = 42 cm² og O = 28 cm.

Eksempel 2 · Husform: legg sammen rektangel og trekant

En vegg er 6 m bred og 4 m høy, med et trekanttak som er 2 m høyt. Finn arealet.

Husbredde 6 mTrekantens vinkelrette høyde 2 m

A_vegg = 6 · 4 = 24 m²rektangel

A_tak = 6 · 22 = 6 m²trekant

A = 24 + 6 = 30 m²legg sammen

Svar: 30 m².

Eksempel 3 · Halvsirkel på et rektangel

Et rektangel er 8 cm bredt og 4 cm høyt. En halvsirkel med diameter 8 cm festes på toppen. Finn areal og omkrets.

Rektangelets bredde 8 cmHalvsirkelens diameter 8 cm

r = 8 : 2 = 4 cmradius

A = 8 · 4 + π · 4²2legg sammen

A = 32 + 8π ≈ 57,13 cm²areal

O = 8 + 4 + 4 + 4π ≈ 28,57 cmytterkant

Svar: A ≈ 57,13 cm² og O ≈ 28,57 cm.

Eksempel 4 · Plate med et rektangulært hull

En plate er 12 cm × 8 cm. Et gjennomgående hull måler 4 cm × 3 cm. Finn materialarealet og den totale kantlengden.

Ytre bredde 12 cm

A_plate = 12 · 8 = 96 cm²før hullet

A_hull = 4 · 3 = 12 cm²fjernet areal

A = 96 − 12 = 84 cm²materialareal

O = 2(12 + 8) + 2(4 + 3) = 54 cmalle kantene

Svar: 84 cm² materiale og 54 cm samlet kantlengde.

Eksempel 5 · To kuber: volum og synlig overflate

To kuber med sidelengde 3 cm limes sammen langs én hel sideflate. Finn volum og ytre overflateareal.

To kuber, hver med side 3 cmKontaktflaten er skjult

V = 2 · 3³ = 54 cm³legg sammen volum

S_begge = 2 · 6 · 3² = 108 cm²to fulle overflater

S_kontakt = 2 · 3² = 18 cm²skjulte flater

S_ytre = 108 − 18 = 90 cm²synlig overflate

Svar: V = 54 cm³ og S = 90 cm².

Eksempel 6 · Sylinder og kjegle: to romfigurer

En kjegle med radius 3 cm og høyde 4 cm står på en sylinder med samme radius og høyde 5 cm. Finn volum og ytre overflate.

Sylinderhøyde 5 cmKjeglehøyde 4 cm

V_sylinder = π · 3² · 5 = 45π cm³sylinder

V_kjegle = π · 3² · 43 = 12π cm³kjegle

V = 45π + 12π = 57π cm³samlet volum

s = √(3² + 4²) = 5 cmskråhøyde

S = 9π + 30π + 15π = 54π cm²ytre overflate

Svar: V = 57π cm³ ≈ 179,07 cm³ og S = 54π cm² ≈ 169,65 cm².

Eksempel 7 · To deler uten overlapp

To rektangler med areal 20 cm² og 18 cm² legges ved siden av hverandre uten overlapping. Hva er samlet areal?

Ingen overlapp mellom figurene

A₁ = 20 cm²første del

A₂ = 18 cm²andre del

A = 20 + 18 = 38 cm²legg sammen

Svar: 38 cm².

Huskeregel

Dette tar du med deg

Areal og volum: del opp og legg sammen, eller trekk vekk det som mangler. Omkrets: følg grensen rundt figuren. Ytre overflate: ikke ta med sammenlimte kontaktflater.

Prøv selv

Oppgaver på tre nivåer

Regn på ark og tegn en skisse når det hjelper. Vis utregning, og prøv selv før du åpner fasiten. Svar med to desimaler når du trenger å avrunde.

Nivå 1

Kom i gang med begreper og enkle beregninger.

To rektangler uten overlapp har areal 12 og 18 cm². Finn samlet areal.
Vis fasit og forklaring
A = 12 + 18 = 30 cm².
Fra et rektangel på 8 × 5 cm fjernes et hjørne på 2 × 3 cm. Finn arealet.
Vis fasit og forklaring
A = 40 − 6 = 34 cm².
Et rektangel 6 × 4 cm har en trekant med grunnlinje 6 cm og høyde 2 cm festet langs den ene langsiden. Finn arealet.
Vis fasit og forklaring
A = 24 + 6 · 22 = 30 cm².
To romfigurer med volum 24 og 36 cm³ settes sammen uten volumoverlapp. Finn volumet.
Vis fasit og forklaring
V = 24 + 36 = 60 cm³.
En kube med side 2 cm limes til en lik kube langs én hel sideflate. Finn volumet.
Vis fasit og forklaring
V = 2 · 2³ = 16 cm³.

Nivå 2

Bruk reglene, kombiner steg og finn ukjente mål.

En L-form er et rektangel 10 × 8 cm med et hjørne 4 × 3 cm fjernet. Finn arealet.
Vis fasit og forklaring
A = 80 − 12 = 68 cm².
Finn omkretsen til L-formen i forrige oppgave.
Vis fasit og forklaring
Ytterkant: 10 + 5 + 4 + 3 + 6 + 8 = 36 cm. De borttatte ytterlengdene erstattes av like lange kanter i hakket.
En halvsirkel med diameter 6 cm festes langs kortsiden av et rektangel 8 × 6 cm. Finn arealet.
Vis fasit og forklaring
r = 3. A = 48 + 9π2 ≈ 62,14 cm².
Finn omkretsen til figuren i forrige oppgave.
Vis fasit og forklaring
Tre rektangelsider og halv sirkelbue: O = 8 + 8 + 6 + 3π ≈ 31,42 cm.
To kuber med side 2 cm limes langs én hel sideflate. Finn overflatearealet.
Vis fasit og forklaring
To kuber gir 48 cm². Kontaktflatene er 2 · 4 = 8 cm². S = 40 cm².

Nivå 3

Forklar, vurder og løs sammensatte problemer.

Et rektangel 10 × 8 cm har et sirkelformet hull med radius 2 cm helt innenfor kanten. Finn gjenværende areal.
Vis fasit og forklaring
A = 80 − 4π ≈ 67,43 cm². Hullet trekkes fra.
Et basseng har innvendig L-formet bunn: 8 × 6 m minus et hjørne 3 × 2 m. Dybden er 1,5 m overalt. Finn kapasitet i liter.
Vis fasit og forklaring
G = 48 − 6 = 42 m². V = 42 · 1,5 = 63 m³ = 63 000 L.
Et rett prisme 6 × 4 × 3 cm har en kube med side 2 cm festet oppå. Hele kubebunnen er i kontakt. Finn volum og overflate.
Vis fasit og forklaring
V = 72 + 8 = 80 cm³. Prismets S = 2(24 + 18 + 12) = 108. Kubens S = 24. Trekk fra 2 · 4: samlet S = 124 cm².
En kjegle med r = 3 cm og h = 4 cm settes på en sylinder med samme radius og h = 5 cm. Finn volum og ytre overflate, med nederste bunn.
Vis fasit og forklaring
V = 45π + 12π = 57π ≈ 179,07 cm³. Kjegleside s = 5 cm. S = 9π + 30π + 15π = 54π ≈ 169,65 cm².
To rektangler med areal 20 og 18 cm² overlapper i et område på 6 cm². Finn arealet av området de dekker til sammen.
Vis fasit og forklaring
20 + 18 teller overlappen to ganger. Trekk den fra én gang: A = 20 + 18 − 6 = 32 cm².

Sammensatte figurer