Formlikhet

FormlikhetGeometri

Formlikhet og ukjente sidelengder

Kort forklart

Formlike figurer har samme form, men kan ha forskjellig størrelse. Vinkler som svarer til hverandre, er like store, og samsvarende sider har samme forhold. Vi bruker dette til å finne lengder som ikke er oppgitt. Figurene kan også være dreid eller speilvendt.

Du bør kjenne begrepene fra «Linjer, figurer og vinkler». Bruk kalkulator ved behov, og avrund først i siste linje.

Se sammenhengen

Samme form – ulike størrelser

Når figurer er formlike, er vinklene de samme. Alle sidene er ganget med samme faktor. I disse trekantene er hver side i den store trekanten dobbelt så lang som den tilsvarende siden i den lille.

Liten trekantGrunnside 3 cmKatet 4 cmHypotenus 5 cm

Stor trekantGrunnside 6 cmKatet 8 cmHypotenus 10 cm

Grunnsidene, katetene og hypotenusene er farget likt for å vise hvilke sider som svarer til hverandre.

6 : 3 = 8 : 4 = 10 : 5 = 2Skaleringsfaktoren fra liten til stor er k = 2.

Viktige begreper

Ord du bør kunne

Samsvarende sider

Sider som har samme plass i formen, for eksempel mellom like vinkler.

Skaleringsfaktor k

Ny lengde delt på tilsvarende opprinnelig lengde.

Formlike trekanter

To par like vinkler er nok; da er det tredje paret også likt.

Kongruente figurer

Samme form og størrelse. Da er skaleringsfaktoren 1.

Vinkel–vinkel-regelen

Har to trekanter to par like store vinkler, er de formlike. Den tredje vinkelen er da også lik.

Videoer

Se formlikhet i praksis

Start med begrepene, og se deretter hvordan du finner en ukjent side. Den siste videoen bruker formlikhet til å beregne høyden på et tre.

Åpne på YouTube

2. Finne ukjente sidergetSmart · Formlikhet del 2 · 8 min 35 sekÅpne undervisningsvideoen

3. Skygger og trehøydegetSmart · Formlikhet del 3 · 12 min 44 sekÅpne undervisningsvideoen

Video 1 kan spilles av her. Video 2 og 3 åpnes på getSmart, der tilgang kan være nødvendig.

Slik gjør du det

Regn steg for steg

Begynn med å finne sider som svarer til hverandre. Deretter velger du samme forhold i hele regnestykket. Hold musepekeren over hvert steg for forklaring. På mobil vises forklaringene under stegene.

Eksempel 1 · Finn en større side

En liten trekant har sidene 4 cm, 6 cm og 7 cm. I en formlik større trekant svarer 4 cm til 10 cm. Finn den siden som svarer til 6 cm.

Liten4 cm6 cm7 cm

Stor10 cmx17,5 cm

Samsvarende sider har samme farge. Trekanten til høyre er 2,5 ganger større i alle lengder.

k = 104 = 2,5finn faktoren

x = 6 · kbruk samme faktor

x = 6 · 2,5 = 15 cmregn ut

Svar: Siden x er 15 cm.

Eksempel 2 · Fra stor figur tilbake til liten

To rektangler er formlike. Den store høyden er 15 cm og den tilsvarende lille høyden er 5 cm. Den store bredden er 9 cm. Finn den lille bredden.

Lite rektangelBredde xHøyde 5 cm

Stort rektangelBredde 9 cmHøyde 15 cm

Rektanglene er tegnet med samme skala i illustrasjonen.

k = 155 = 3finn faktoren

x · 3 = 9sett opp

x = 93 = 3 cmdel på faktoren

Svar: Den lille bredden er 3 cm.

Eksempel 3 · Er rektanglene formlike?

Det ene rektangelet er 3 cm bredt og 2 cm høyt. Det andre er 7 cm bredt og 4 cm høyt. Undersøk om figurene er formlike.

Rektangel ABredde 3 cmHøyde 2 cm

Rektangel BBredde 7 cmHøyde 4 cm

Alle vinklene er 90°, men det betyr ikke alene at rektanglene er formlike.

k_{bredde} = 73 ≈ 2,33sammenlign bredde

k_{høyde} = 42 = 2sammenlign høyde

2,33 ≠ 2sjekk forholdene

Svar: Nei. Rektanglene er ikke formlike.

Eksempel 4 · Hvor høyt er treet?

En 1,5 m høy stokk kaster en skygge på 2 m. Samtidig kaster et loddrett tre en skygge på 8 m. Bakken er flat. Finn treets høyde.

StokkHøyde 1,5 mSkygge 2 m

TreHøyde hSkygge 8 m

Samme solretning gir samme skrå vinkel. Både stokken og treet står vinkelrett på bakken.

k = 82 = 4sammenlign skygger

h = 1,5 · ksamme faktor for høyden

h = 1,5 · 4 = 6 mregn ut

Svar: Treet er 6 m høyt.

Eksempel 5 · En parallell linje inni trekanten

I trekant ABC er linjestykket DE parallelt med BC. DE = 6 cm, BC = 9 cm og AE = 5 cm. Finn hele siden AC.

Liten trekant ADEDE = 6 cmAE = 5 cm

Stor trekant ABCBC = 9 cmAC = x

DE er parallell med BC. Dermed har trekantene ADE og ABC like vinkler og er formlike.

k = 96 = 1,5sammenlign parallelle sider

x = AE · kfinn riktig side

x = 5 · 1,5 = 7,5 cmregn ut

Svar: Hele siden AC er 7,5 cm.

Eksempel 6 · Formlik selv om figuren er snudd

En liten rettvinklet trekant har sidene 3 cm, 4 cm og 5 cm. En større trekant er dreid og har hypotenus 10 cm. Finn de to katetene.

Liten trekantKatet 3 cmKatet 4 cmHypotenus 5 cm

Dreid trekantKatet xKatet yHypotenus 10 cm

Fargene viser samsvarende sider selv om den store trekanten er dreid.

k = 105 = 2bruk hypotenusene

x = 3 · 2 = 6 cmfinn første katet

y = 4 · 2 = 8 cmfinn andre katet

Svar: Katetene er 6 cm og 8 cm.

Eksempel 7 · Bruk omkrets til å finne ukjent side

To trekanter er formlike. Den lille har omkrets 18 cm og den store omkrets 45 cm. I den lille er en side 6 cm. Finn den tilsvarende siden i den store.

Liten trekant · O = 18 cm4,5 cmKjent side 6 cm7,5 cm

Stor trekant · O = 45 cm11,25 cmUkjent side x18,75 cm

Alle sidelengdene er konsistente med omkretsene som er oppgitt. Figurene er tegnet i samme målestokk.

k = 4518 = 2,5bruk omkretsene

x = 6 · kbruk samme faktor

x = 6 · 2,5 = 15 cmregn ut

Svar: Den tilsvarende store siden er 15 cm.

Huskeregel

Tre ting du må huske

Finn skaleringsfaktorenk = stor sideliten side

Finn større sidestor side = k · liten side

Finn mindre sideliten side = stor sidek

Samme rekkefølge: Sammenlign alltid samsvarende sider i samme retning. For trekanter er to par like store vinkler nok til å vise formlikhet. Dette gjelder ikke automatisk for andre figurer.

Prøv selv

Oppgaver på tre nivåer

Regn på ark og tegn en skisse når det hjelper. Vis utregning, og prøv selv før du åpner fasiten. Svar med to desimaler når du trenger å avrunde.

Nivå 1

Kom i gang med begreper og enkle beregninger.

En side på 3 cm blir 6 cm. Finn k.
Vis fasit og forklaring
k = 6 : 3 = 2.
k = 3. En opprinnelig side er 5 cm. Finn ny lengde.
Vis fasit og forklaring
5 · 3 = 15 cm.
k = 0,5. En opprinnelig side er 8 cm. Finn ny lengde.
Vis fasit og forklaring
8 · 0,5 = 4 cm.
En stor trekant er dobbelt så stor i lengder. En side er 14 cm. Finn tilsvarende liten side.
Vis fasit og forklaring
14 : 2 = 7 cm.
To trekanter har vinklene 40°, 60°, 80°. Er de formlike?
Vis fasit og forklaring
Ja. Samsvarende vinkler er like; størrelsen kan være ulik.

Nivå 2

Bruk reglene, kombiner steg og finn ukjente mål.

Trekantsider 3, 4, 5 cm svarer til 6, 8, 10 cm. Vis formlikhet med sideforhold.
Vis fasit og forklaring
6 : 3 = 8 : 4 = 10 : 5 = 2. Alle samsvarende sider har samme faktor.
To formlike figurer har sider 4 og 7 cm i den lille. Siden på 4 svarer til 10 cm. Finn siden som svarer til 7.
Vis fasit og forklaring
k = 10 : 4 = 2,5. x = 7 · 2,5 = 17,5 cm.
Er rektanglene 2 × 3 cm og 4 × 7 cm formlike?
Vis fasit og forklaring
Nei. 4 : 2 = 2, men 7 : 3 ≈ 2,33. Forholdene er forskjellige.
En 2 m høy stokk gir 3 m skygge. Et tre gir samtidig 12 m skygge på flat bakke. Finn trehøyden.
Vis fasit og forklaring
k = 12 : 3 = 4. Høyden er 2 · 4 = 8 m, forutsatt loddrett stokk og tre.
En trekant har vinkler 35° og 75°. En annen har 70° og 35°. Er de formlike?
Vis fasit og forklaring
Første tredje vinkel er 70°. Den andre er 75°. Begge har 35°, 70° og 75°, så ja.

Nivå 3

Forklar, vurder og løs sammensatte problemer.

To formlike figurer har omkretser 18 og 45 cm. En side i den lille er 6 cm. Finn tilsvarende side i den store.
Vis fasit og forklaring
Omkrets skaleres som lengde: k = 45 : 18 = 2,5. Siden er 6 · 2,5 = 15 cm.
Et foto er 12 cm bredt og 8 cm høyt. Det forstørres til bredde 21 cm uten å endre formen. Finn høyden.
Vis fasit og forklaring
k = 21 : 12 = 1,75. Høyde = 8 · 1,75 = 14 cm.
To trekanter har én lik vinkel. Kan vi konkludere med formlikhet?
Vis fasit og forklaring
Nei. De andre vinklene kan være ulike. To par like vinkler er nok.
Et rektangel forstørres fra 6 × 10 cm til høyde 9 cm, der 6 er opprinnelig høyde. Finn ny bredde og omkrets.
Vis fasit og forklaring
k = 9 : 6 = 1,5. Bredde = 15 cm. O = 2 · 9 + 2 · 15 = 48 cm.
To rektangler har alle vinkler like. Hvorfor er ikke dette nok til å vise formlikhet?
Vis fasit og forklaring
Alle rektangler har rette vinkler, men lengde–bredde-forholdet kan være forskjellig. For eksempel er 2 × 3 og 2 × 5 ikke formlike.