Sammenligne lineære funksjoner

FunksjonerLineær funksjonPraktiske situasjonerSammenligning

Kort forklart

Sammenligne lineære funksjoner

Når vi sammenligner lineære funksjoner, undersøker vi hvilken funksjon som har lavest eller høyest verdi, hvilken som endrer seg raskest, og når funksjonene får samme verdi.

Vi sammenligner to tilbud for sykkelutleie. I begge tilbudene er x antall timer, mens funksjonsverdien er totalprisen i kroner.

Tilbud A

f(x) = 20x + 80

80 kr i startpris og 20 kr per time.

Tilbud B

g(x) = 12x + 160

160 kr i startpris og 12 kr per time.

Ingen av tilbudene er alltid billigst

Tilbud A starter billigst, men prisen øker raskere. Tilbud B har høyere startpris, men lavere timepris. Derfor vil grafene møtes i et skjæringspunkt.

Viktige begreper

Dette sammenligner vi

Konstantleddet b

Viser startverdien. Her starter tilbud A på 80 kr, mens tilbud B starter på 160 kr.

Stigningstallet a

Viser endringen per enhet. Tilbud A øker med 20 kr per time, mens tilbud B øker med 12 kr per time.

Skjæringspunkt

Viser når funksjonene har samme x-verdi og samme funksjonsverdi. Da koster tilbudene det samme.

Begge funksjonene følger den generelle formelen f(x) = ax + b, men de har ulike verdier for a og b.

Video

Skjæringspunkt mellom lineære funksjoner

Videoen viser hvordan skjæringspunktet mellom to lineære funksjoner kan finnes og tolkes.

Slik gjør du det

Sammenlign a og b først

Før vi regner eller tegner, kan vi hente mye informasjon direkte fra funksjonsuttrykkene.

Tilbud A: f(x) = 20x + 80

a = 2020 kr per time

b = 8080 kr i startpris

Tilbud B: g(x) = 12x + 160

a = 1212 kr per time

b = 160160 kr i startpris

Lavest startpris Tilbud A

Lavest timepris Tilbud B

Konklusjon Avhenger av x

Tabell og graf

Se når tilbudene bytter plass

Tabellen og grafen viser at tilbud A er billigst først. Ved skjæringspunktet koster tilbudene det samme. Etter skjæringspunktet er tilbud B billigst.

Tid x (timer)	f(x), tilbud A	g(x), tilbud B	Billigst
0	80 kr	160 kr	Tilbud A
5	180 kr	220 kr	Tilbud A
10	280 kr	280 kr	Like dyre
15	380 kr	340 kr	Tilbud B

Skjæringspunktet (10, 280) betyr at begge tilbudene koster 280 kr etter 10 timer.

Regn ut

Finn skjæringspunktet uten graf

I skjæringspunktet er funksjonsverdiene like. Derfor setter vi funksjonsuttrykkene lik hverandre.

Løs f(x) = g(x)

20x + 80 = 12x + 160sett funksjonene lik

8x + 80 = 160samle x-leddene

8x = 80isoler x-leddet

x = 10samme pris etter 10 timer

f(10) = 20 · 10 + 80 = 280finn funksjonsverdien

Skjæringspunkt: (10, 280)

Tolkning: Etter 10 timer koster begge tilbudene 280 kr.

Utforsk

Hvilket tilbud er billigst?

Flytt timeverdien. Punktene viser prisen i begge tilbudene ved samme x-verdi.

Antall timer 5

Billigst ved denne tiden Tilbud A

Tilbud A 180 kr

Tilbud B 220 kr

Forskjell 40 kr

f(5) = 180 kr og g(5) = 220 kr.

Ved 5 timer er tilbud A 40 kr billigere.

GeoGebra

Kontroller skjæringspunktet

Verktøyene står som synlig tekst fordi de er nødvendige for framgangsmåten. Hold musepekeren over eller trykk på de markerte verktøynavnene for en ekstra forklaring.

Åpne Graftegner.

Skriv f(x)=20x+80 i inntastingsfeltet.

Skriv g(x)=12x+160 på neste linje. Kontroller at begge grafene vises.

Velg verktøyet Skjæring mellom to objekt.

Klikk først på grafen til f og deretter på grafen til g. GeoGebra lager skjæringspunktet.

Bruk eventuelt Flytt grafikkfelt eller zoom for å få et tydelig utsnitt.

Forventet resultat: GeoGebra viser punktet A = (10, 280). Det betyr at tilbudene koster det samme etter 10 timer.

Huskeregel

Tre spørsmål gir oversikt

Hvem starter lavest?

Sammenlign konstantleddene b.

Hvem øker raskest?

Sammenlign stigningstallene a.

Når er de like?

Finn skjæringspunktet eller løs f(x) = g(x).

Før skjæringspunktet ligger den billigste grafen nederst. Etter skjæringspunktet kan rekkefølgen være motsatt.

Prøv selv

Øv på å sammenligne lineære funksjoner

Sammenlign startverdi, endring per enhet og skjæringspunkt. Husk å tolke svaret i situasjonen.

Nivå 1: Les av og sammenlign

Finn én tydelig opplysning om gangen.

↓

Tips: Sammenlign først konstantleddene, deretter stigningstallene.

1

f(x) = 15x + 60 og g(x) = 10x + 90.

Hvilken funksjon har lavest startverdi?

Vis fasit
f har lavest startverdi.60 er mindre enn 90.
2

f(x) = 15x + 60 og g(x) = 10x + 90.

Hvilken funksjon øker raskest?

Vis fasit
f øker raskest.15 er større enn 10.
3

f(x) = 8x + 140 og g(x) = 14x + 50.

Hvilken funksjon er minst når x = 0?

Vis fasit
g er minst.g(0) = 50, mens f(0) = 140.
4

To grafer skjærer hverandre i punktet (6, 210).

Hva forteller punktet?

Vis fasit
Når x = 6, har begge funksjonene verdien 210.
5

f og g har samme stigningstall, men f har lavere konstantledd.

Kan grafene skjære hverandre?

Vis fasit
Nei.Grafene er parallelle, og f ligger hele tiden lavere enn g.

Nivå 2: Regn og sammenlign

Beregn verdier og finn skjæringspunkt med flere regnetrinn.

↓

Tips: I skjæringspunktet er funksjonsverdiene like.

1

f(x) = 18x + 40 og g(x) = 12x + 70.

Hvilken funksjon har lavest verdi når x = 4?

Vis fasit
f er lavest.f(4) = 112 og g(4) = 118.
2

f(x) = 25x + 50 og g(x) = 15x + 130.

Finn skjæringspunktet.

Vis fasit
(8, 250).25x + 50 = 15x + 130 gir x = 8. Begge funksjonene får verdien 250.
3

f(x) = 12x + 90 og g(x) = 18x + 30.

Finn skjæringspunktet.

Vis fasit
(10, 210).12x + 90 = 18x + 30 gir x = 10 og y = 210.
4

f(x) = 9x + 100 og g(x) = 6x + 130.

Hvilken funksjon er minst når x = 12?

Vis fasit
g er minst.f(12) = 208 og g(12) = 202.
5

Ved x = 3 er f(x) = 95 og g(x) = 110.

Hvilken graf ligger nederst ved x = 3, og hva er forskjellen?

Vis fasit
f ligger nederst, og forskjellen er 15.

Nivå 3: Resonner, vurder og begrunn

Lengre situasjoner med flere delspørsmål og logiske valg.

↓

Tips: Her er ikke én utregning nok. Vis hvordan du tenker, sammenlign flere muligheter og forklar hvorfor konklusjonen passer til situasjonen.

1

Et treningssenter tilbyr to betalingsmåter for gruppetimer i én måned.

Tilbud A har en fast avgift på 120 kr og koster 55 kr per gruppetime: f(x) = 55x + 120.
Tilbud B har en fast avgift på 260 kr og koster 35 kr per gruppetime: g(x) = 35x + 260.

a) Hvilket tilbud er billigst ved 4 gruppetimer, og hvor stor er forskjellen?

b) Finn når tilbudene koster det samme.

c) En person forventer 10 gruppetimer. Hvilket tilbud bør personen velge? Begrunn.

Vis fasit

Tilbudene er like ved 7 timer. A passer best ved 4 timer, mens B passer best ved 10 timer.

a) f(4) = 340 kr og g(4) = 400 kr. Tilbud A er 60 kr billigere. b) 55x + 120 = 35x + 260 gir 20x = 140 og x = 7. Prisen er 505 kr. c) f(10) = 670 kr og g(10) = 610 kr. Tilbud B er 60 kr billigere.
2

To drosjeselskaper har ulike startpriser og kilometerpriser. En passasjer har maksimalt 260 kr å bruke og vil kjøre så langt som mulig.

Drosje A: f(x) = 19x + 75
Drosje B: g(x) = 14x + 120
Her er x antall hele kilometer.

a) Hvor mange hele kilometer kan passasjeren maksimalt kjøre med hver drosje?

b) Hvilken drosje gir lengst tur innenfor budsjettet?

c) Forklar hvorfor det ikke er nok å sammenligne bare startprisene.

Vis fasit

Drosje B gir lengst tur: 10 km mot 9 km med drosje A.

A: f(9) = 246 kr, mens f(10) = 265 kr. Maksimalt 9 hele kilometer. B: g(10) = 260 kr. Maksimalt 10 hele kilometer. Drosje A starter billigst, men har høyere kilometerpris. Derfor kan B bli billigere på lengre turer.
3

To vanntanker fylles samtidig. Målingene er bare gyldige de første 15 minuttene.

Tank A inneholder 40 liter ved start og fylles med 12 liter per minutt: f(x) = 12x + 40.
Tank B inneholder 100 liter ved start og fylles med 6 liter per minutt: g(x) = 6x + 100.
Modellen gjelder for 0 ≤ x ≤ 15.

a) Hvilken tank inneholder mest vann etter 4 minutter?

b) Når inneholder tankene like mye vann?

c) Hvilken tank inneholder mest etter 14 minutter?

d) En person bruker modellen til å sammenligne tankene etter 20 minutter. Hvorfor bør vi være kritiske til dette?

Vis fasit

Tank B har mest først, men tank A passerer tank B etter 10 minutter.

a) f(4) = 88 liter og g(4) = 124 liter. Tank B har mest. b) 12x + 40 = 6x + 100 gir x = 10. Begge har da 160 liter. c) f(14) = 208 liter og g(14) = 184 liter. Tank A har mest. d) Modellen er oppgitt som gyldig bare til 15 minutter. Vi vet ikke om fyllingen fortsetter på samme måte etter dette.
4

En person påstår: «Tilbud A er alltid billigst fordi det har lavest startpris.»

Tilbud A: f(x) = 18x + 90
Tilbud B: g(x) = 12x + 150

a) Forklar hva som er mangelfullt i påstanden.

b) Finn skjæringspunktet mellom funksjonene.

c) Undersøk tilbudene ved x = 6 og x = 14.

d) Skriv en mer presis konklusjon enn den opprinnelige påstanden.

Vis fasit

Påstanden tar bare hensyn til startprisen og ignorerer endringen per enhet.

b) 18x + 90 = 12x + 150 gir x = 10. Begge har da verdien 270. c) Ved x = 6: f(6) = 198 og g(6) = 222, så A er billigst. Ved x = 14: f(14) = 342 og g(14) = 318, så B er billigst. d) Tilbud A er billigst når x er mindre enn 10. De er like ved x = 10. Tilbud B er billigst når x er større enn 10.
5

Et firma lager et nytt tilbud som skal konkurrere med tilbud A. Det nye tilbudet skal ha høyere startpris, men lavere pris per enhet.

Tilbud A er f(x) = 24x + 72.
Tilbud B skal ha formen g(x) = ax + 144.
Firmaet bestemmer at tilbudene skal koste det samme når x = 9.

a) Finn verdien til a i tilbud B.

b) Sammenlign tilbudene ved x = 5.

c) Sammenlign tilbudene ved x = 12.

d) Forklar med ord hvorfor tilbudet med høyest startpris likevel blir billigst etter skjæringspunktet.

Vis fasit

Tilbud B må være g(x) = 16x + 144.

a) f(9) = 24 · 9 + 72 = 288. Derfor må 9a + 144 = 288. Det gir 9a = 144 og a = 16. b) f(5) = 192 og g(5) = 224. Tilbud A er 32 billigere. c) f(12) = 360 og g(12) = 336. Tilbud B er 24 billigere. d) Tilbud B starter høyere, men øker bare med 16 per enhet. Tilbud A øker med 24 per enhet. Derfor passerer A til slutt B.

Sammenligne lineære funksjoner