Omvendt proporsjonale funksjoner
To størrelser er omvendt proporsjonale når den ene blir mindre i samme forhold som den andre blir større. Dobles den ene størrelsen, halveres den andre.
Sammenhengen skrives vanligvis slik:
Tallet k er proporsjonalitetskonstanten. For alle punkter på grafen gjelder x · f(x) = k.
Samme produkt
Produktet av de to størrelsene er konstant.
Ikke en rett linje
Grafen er en krum kurve som kalles en hyperbel.
x kan ikke være 0
Vi kan ikke dele på 0, så funksjonen er ikke definert når x = 0.
Husk: Når x dobles, halveres f(x). Når x tredobles, blir f(x) en tredel.
Viktige begreper
Ord du trenger
Ord du trenger
Omvendt proporsjonal
En sammenheng der produktet av de to størrelsene er konstant.
Proporsjonalitetskonstant – k
Den konstante verdien vi får når vi regner x · f(x).
Hyperbel
Navnet på grafen til en omvendt proporsjonal funksjon.
Definisjonsmengde
Alle x-verdiene funksjonen kan bruke. Her må x være forskjellig fra 0.
Asymptote
En linje grafen nærmer seg uten å treffe. Her er begge aksene asymptoter.
Praktisk gyldighetsområde
De x-verdiene som faktisk gir mening i situasjonen.
Se omvendt proporsjonale funksjoner forklart
Videoen viser hvordan funksjonsuttrykk, tabell og graf henger sammen.
Produktet er konstant
Tabellen viser funksjonen f(x) = 24x. Selv om x og f(x) endrer seg, er produktet alltid 24.
| x | f(x) = 24x | x · f(x) |
|---|---|---|
| 1 | 24 | 24 |
| 2 | 12 | 24 |
| 3 | 8 | 24 |
| 4 | 6 | 24 |
| 6 | 4 | 24 |
| 8 | 3 | 24 |
| 12 | 2 | 24 |
Proporsjonal eller omvendt proporsjonal?
Proporsjonal funksjon
f(x) = kx
Forholdet f(x)x er konstant. Grafen er en rett linje gjennom origo.
Omvendt proporsjonal funksjon
f(x) = kx
Produktet x · f(x) er konstant. Grafen er en hyperbel.
Test med dobling
Proporsjonal: x dobles → f(x) dobles.
Omvendt proporsjonal: x dobles → f(x) halveres.
Hvordan påvirker k grafen?
Endre størrelsen og fortegnet til k. Punktet A viser en valgt x-verdi, og algebrafeltet viser både f(x) og produktet x · f(x).
Når k er positiv, ligger grafen i første og tredje kvadrant. Når k er negativ, ligger den i andre og fjerde kvadrant.
Produktet er alltid lik k, uansett hvilken x-verdi du velger.
Tegn grafen i GeoGebra
Bruk Graftegner og skriv funksjonsuttrykket direkte i inntastingsfeltet.
Åpne Graftegner.
Skriv f(x)=24/x i inntastingsfeltet og trykk Enter.
Velg Punkt på objekt og plasser et punkt på grafen.
Åpne menyen ved funksjonen og velg Verditabell.
Bruk Flytt grafikkfelt eller zoom for å se begge grenene av grafen.
Kontroller at punktene oppfyller x*f(x)=24.
Når passer modellen?
Fart og tid
Ved fast strekning gir høyere fart kortere reisetid.
Fast areal
Hvis rektangelets areal er fast, må bredden minke når lengden øker.
Fordeling
En fast mengde fordeles på flere personer eller beholdere.
Finn uttrykket og løs praktiske problemer
Eksempel 1: Finn k fra ett punkt
Punktet (4, 9) ligger på grafen til en omvendt proporsjonal funksjon. Finn funksjonsuttrykket.
Eksempel 2: Fart og tid
En tur er 180 km. Tiden t i timer avhenger av farten v i km/t. Lag en funksjon og finn tiden ved 60 km/t.
Eksempel 3: Fast areal
Et rektangel har areal 48 m². Lengden er x meter. Finn bredden når lengden er 6 meter.
Huskeregel: Finn den konstante størrelsen k, skriv f(x) = kx, sett inn x-verdien og tolk funksjonsverdien med riktig enhet.
Øv på omvendt proporsjonale funksjoner
Oppgavene går fra å kjenne igjen konstant produkt til å lage modeller, bruke GeoGebra og vurdere om en modell passer i virkeligheten.
Nivå 1: Finn mønsteret
Regn ut k og avgjør om sammenhengen er omvendt proporsjonal.
↓
Nivå 1: Finn mønsteret
Regn ut k og avgjør om sammenhengen er omvendt proporsjonal.
Tips: Regn ut produktet x · f(x). Er produktet det samme i alle radene?
-
1
f(x) = 20x. Finn f(2), f(4) og f(10).
Vis fasit
f(2)=10, f(4)=5 og f(10)=2.
-
2
Punktet (3, 8) ligger på en omvendt proporsjonal graf. Finn k.
Vis fasit
k = 3 · 8 = 24.
-
3
x-verdiene er 2, 4 og 8. De tilhørende y-verdiene er 18, 9 og 4,5. Er sammenhengen omvendt proporsjonal?
Vis fasit
Ja. Produktene er 2·18=36, 4·9=36 og 8·4,5=36.
-
4
Hva skjer med f(x) dersom x dobles i en omvendt proporsjonal sammenheng?
Vis fasit
f(x) halveres.
-
5
Hvorfor kan x ikke være 0 i f(x)=12x?
Vis fasit
Fordi vi ikke kan dele 12 på 0.
Nivå 2: Lag og bruk funksjonen
Finn funksjonsuttrykk og løs praktiske problemer.
↓
Nivå 2: Lag og bruk funksjonen
Finn funksjonsuttrykk og løs praktiske problemer.
Tips: Finn først k ved å bruke k = x · f(x).
-
1
Punktet (5, 7) ligger på grafen.
Finn funksjonsuttrykket.
Vis fasit
k=5·7=35, så f(x)=35x.
-
2
72 liter fordeles likt på x beholdere.
Lag en funksjon og finn mengden i hver beholder når x=9.
Vis fasit
m(x)=72x og m(9)=8. Det blir 8 liter i hver beholder.
-
3
Et rektangel har areal 60 cm² og lengde x cm.
Lag en funksjon for bredden og finn bredden når x=12.
Vis fasit
b(x)=60x og b(12)=5. Bredden er 5 cm.
-
4
En tur er 240 km. Tiden t avhenger av farten v.
Lag funksjonen og finn tiden ved 80 km/t.
Vis fasit
t(v)=240v og t(80)=3. Turen tar 3 timer.
-
5
f(x)=48x
Bruk GeoGebra til å finne x når f(x)=6.
Vis fasit
Tegn f(x)=48x og g(x)=6. Skjæringspunktet i første kvadrant har x=8.
Nivå 3: Undersøk og vurder
Begrunn modellvalg, bruk grafen og vurder gyldighetsområdet.
↓
Nivå 3: Undersøk og vurder
Begrunn modellvalg, bruk grafen og vurder gyldighetsområdet.
Tips: Et fullstendig svar skal inneholde funksjon, beregning, enhet og en vurdering av om modellen er rimelig.
-
1
En jobb tar 96 arbeidstimer. Modellen t(x)=96x viser antall timer når x personer arbeider samtidig.
Finn t(3), t(6) og t(12), og forklar hvorfor modellen kan være unøyaktig.
Vis fasit
t(3)=32, t(6)=16 og t(12)=8 timer. Modellen kan være unøyaktig fordi samarbeid, plass og koordinering påvirker arbeidet.
-
2
Et rektangel har areal 100 m². Lengden må være mellom 2 m og 20 m.
Lag funksjonen, finn breddens mulige område og forklar gyldighetsområdet.
Vis fasit
b(x)=100x. Når 2≤x≤20, ligger bredden mellom 50 m og 5 m. Bare positive lengder i dette intervallet er relevante.
-
3
Sammenlign f(x)=24x og g(x)=24x.
Forklar forskjellen ved hjelp av uttrykk, tabell og graf.
Vis fasit
f er proporsjonal: forholdet f(x)x er 24, og grafen er en rett linje. g er omvendt proporsjonal: produktet x·g(x) er 24, og grafen er en hyperbel.
-
4
En tur er 150 km. Tegn t(v)=150v i GeoGebra.
Finn hvilke hastigheter som gir en reisetid mellom 2 og 3 timer.
Vis fasit
2≤150v≤3 gir 50≤v≤75 for positive hastigheter. Farten må være mellom 50 og 75 km/t.
-
5
Finn en praktisk situasjon som kan være omvendt proporsjonal.
Definer variablene, finn k, lag funksjonen og vurder når modellen slutter å være rimelig.
Vis fasit
Svaret vil variere. Det skal inneholde to tydelig definerte størrelser, et konstant produkt, funksjonen f(x)=kx, en beregning og en vurdering av praktiske begrensninger.
