GeoGebra: regresjon
Når vi samler inn virkelige data, ligger punktene sjelden helt nøyaktig på én graf. Med regresjon finner vi en funksjon som følger hovedmønsteret i datasettet best mulig.
Regresjonsmodellen kan brukes til å beskrive utviklingen, beregne verdier mellom observasjonene og lage forsiktige prognoser. Modellen er likevel en forenkling og må vurderes ut fra situasjonen.
Samle data
Registrer sammenhørende x- og y-verdier.
Tegn punktene
Se formen og spredningen i et spredningsdiagram.
Velg modell
Sammenlign lineær, eksponentiell eller annen regresjon.
Tolk resultatet
Bruk modellen og vurder om svaret er rimelig.
Kjernen: En regresjonsgraf trenger ikke gå gjennom alle datapunktene. Den skal beskrive den samlede utviklingen i datasettet.
Viktige begreper
Ord du trenger
Ord du trenger
Datasett
Alle observasjonene vi undersøker samlet.
Datapunkt
Én observasjon skrevet som koordinatparet (x, y).
Spredningsdiagram
Et koordinatsystem der observasjonene vises som enkeltpunkter.
Regresjonsmodell
En funksjon som er tilpasset hovedmønsteret i punktene.
Interpolasjon
Å beregne en verdi mellom x-verdiene som finnes i datasettet.
Ekstrapolasjon
Å bruke modellen utenfor området der vi har observasjoner.
R²-verdi
Et mål på hvor tett modellen følger dataene. En verdi nær 1 betyr god matematisk tilpasning.
Restledd
Den loddrette forskjellen mellom et observert punkt og modellens beregnede verdi.
Gyldighetsområde
Området der det er rimelig å bruke modellen i den praktiske situasjonen.
Se regresjon i GeoGebra
Filmen viser hvordan data registreres og hvordan en regresjonsmodell opprettes i GeoGebra.
Åpne Regneark i GeoGebra
Regresjonsverktøyet bruker Regneark. Elever som vanligvis bare ser algebrafeltet og grafikkfeltet, må derfor åpne denne visningen først.
Med menyen
Åpne hovedmenyen, velg Vis og slå på Regneark.
Med tastatursnarvei
På Windows og Chromebook: Ctrl + Shift + S. På Mac brukes Cmd i stedet for Ctrl.
Alternativ: I perspektivmenyen kan du velge Regneark og grafikk for å åpne begge visningene samtidig.
Fra datapunkter til regresjonsmodell
Datasettet viser en tenkt bruktverdi for en mobiltelefon. Kolonne A inneholder alder i år, og kolonne B inneholder verdi i kroner.
| Alder, x | Verdi, y |
|---|---|
| 0 | 12 000 kr |
| 1 | 9 300 kr |
| 2 | 7 100 kr |
| 3 | 5 500 kr |
| 4 | 4 100 kr |
| 5 | 3 200 kr |
Skriv inn data
Skriv x-verdiene under hverandre i kolonne A og y-verdiene i kolonne B.
Marker begge kolonnene
Dra over alle tallcellene i A og B. Ikke marker tomme celler eller overskrifter.
Åpne analyseverktøyet
Velg Regresjonsanalyse med to variabler.
Kontroller datakilden
Kontroller at den første kolonnen brukes som x-data og den andre som y-data. Velg deretter Analyser.
Velg regresjonsmodell
Bruk menyen under grafen for å velge for eksempel Lineær, Eksponentiell eller Polynom.
Les av likning og R²
Likningen og modellens R²-verdi vises sammen med regresjonsgrafen.
Kommandoalternativ
Sammenlign regresjonsmodellene
Velg modell i algebrafeltet. Datapunktene er de samme, men grafen, likningen, R²-verdien og prognosen endres.
Eksponentialmodellen passer utviklingen svært godt og gir fortsatt positive verdier.
R² er ikke nok alene
Lineær regresjon
Passer når y-verdien endres med omtrent samme antall for hver x-enhet. Grafen er en rett linje.
Eksponentiell regresjon
Passer når y-verdien endres med omtrent samme prosent eller faktor for hver periode.
Andregradsregresjon
Passer når datapunktene danner en bue med et topp- eller bunnpunkt som gir mening i situasjonen.
| Modell | Tilpasning | Problem ved x = 10 | Vurdering |
|---|---|---|---|
| Lineær | R² ≈ 0,9677 | Gir negativ bruktverdi. | Dårlig ved lang ekstrapolasjon. |
| Eksponentiell | R² ≈ 0,9997 | Gir omtrent 842 kr. | Passer prosentvis verdifall og holder seg positiv. |
| Andregrad | R² ≈ 0,9997 | Har begynt å stige til omtrent 5 371 kr. | Høy R², men urimelig utvikling i denne situasjonen. |
Begrunn modellvalget: Bruk formen på punktene, situasjonen, funksjonsuttrykket, R²-verdien og modellens oppførsel utenfor datasettet.
Bruk regresjonsmodellen
Når modellen er valgt, kan den brukes på samme måte som andre funksjoner. Svaret må alltid tolkes med riktig enhet og vurderes i situasjonen.
Finn en beregnet verdi
Bruk f(6) eller punktet P=(6,f(6)). Eksponentialmodellen gir omtrent 2 444 kr.
Finn når en grense passeres
Tegn g(x)=2000 og finn skjæringspunktet. Modellen passerer 2 000 kr ved omtrent x = 6,75, altså mellom år 6 og 7.
Vurder en prognose
En beregning ved x = 20 er langt utenfor datasettet 0–5 år. Resultatet er derfor usikkert selv om GeoGebra kan regne det ut.
Eksempel: Når blir verdien lavere enn 2 000 kr?
Øv på regresjon i GeoGebra
Bruk Regneark, spredningsdiagram og regresjonsanalyse. Skriv hvilken modell du velger, begrunn valget og tolk svarene med riktig enhet.
Nivå 1: Data og modeller
Åpne Regneark, registrer data og kjenn igjen regresjonsmodeller.
↓
Nivå 1: Data og modeller
Åpne Regneark, registrer data og kjenn igjen regresjonsmodeller.
Tips: x-verdier skal stå i én kolonne og de tilhørende y-verdiene i neste kolonne.
-
1
Forklar hvordan du åpner Regneark i GeoGebra Classic.
Vis fasit
Åpne hovedmenyen, velg Vis og slå på Regneark. Du kan også bruke Ctrl + Shift + S, eller Cmd + Shift + S på Mac.
-
2
Hvor skal x-verdier og y-verdier plasseres i regnearket før en regresjonsanalyse?
Vis fasit
x-verdiene plasseres under hverandre i én kolonne og y-verdiene i nabokolonnen. Verdiene på samme rad skal høre sammen.
-
3
Hva er forskjellen mellom et datapunkt og en regresjonsgraf?
Vis fasit
Et datapunkt er én observert verdi. Regresjonsgrafen er en modell som beskriver hovedmønsteret i alle punktene samlet.
-
4
Datapunktene ligger omtrent langs en rett linje. Hvilken modell bør undersøkes først?
Vis fasit
Lineær regresjon.
-
5
En verdi synker med omtrent samme prosent hvert år. Hvilken modell bør undersøkes først?
Vis fasit
Eksponentiell regresjon.
Nivå 2: Gjennomfør regresjon
Velg modell, tolk uttrykket og bruk det til beregninger.
↓
Nivå 2: Gjennomfør regresjon
Velg modell, tolk uttrykket og bruk det til beregninger.
Tips: Undersøk både grafens form, R² og hva utviklingen betyr i situasjonen.
-
1
Registrer punktene (0, 120), (1, 145), (2, 169), (3, 194) og (4, 221).
Gjennomfør lineær regresjon og beskriv modellen.
Vis fasit
En mulig modell er omtrent f(x)=25,1x+119,6. Den beregnede verdien øker med omtrent 25 per x-enhet.
-
2
Registrer punktene (0, 500), (1, 425), (2, 360), (3, 309) og (4, 260).
Undersøk en eksponentiell modell og tolk vekstfaktoren.
Vis fasit
Modellen blir omtrent f(x)=500·0,85x. Vekstfaktoren 0,85 betyr omtrent 15 % nedgang per periode.
-
3
f(x) ≈ 3 250 · 1,08x
Tolk 3 250 og 1,08.
Vis fasit
3 250 er modellens beregnede startverdi. Vekstfaktoren 1,08 betyr omtrent 8 % økning per periode.
-
4
f(x) ≈ 18,4x + 72,1
Finn og tolk f(10).
Vis fasit
f(10) ≈ 256,1. Modellen beregner en y-verdi på omtrent 256 når x = 10.
-
5
Forklar forskjellen mellom en R²-verdi på 0,65 og en R²-verdi på 0,98.
Vis fasit
Modellen med R² = 0,98 følger datapunktene tettere matematisk. Det betyr ikke automatisk at den er mest rimelig i situasjonen.
Nivå 3: Velg, bruk og vurder modellen
Gjennomfør en full modellering og argumenter for valgene dine.
↓
Nivå 3: Velg, bruk og vurder modellen
Gjennomfør en full modellering og argumenter for valgene dine.
Tips: Et fullstendig svar skal inneholde modellvalg, funksjonsuttrykk, beregning, enhet og en vurdering av modellens gyldighet.
-
1
En brukt sykkel har observerte verdier: (0, 14 000), (1, 11 500), (2, 9 300), (3, 7 600), (4, 6 100).
Velg regresjonsmodell, finn verdien etter seks år og begrunn valget.
Vis fasit
En eksponentiell modell er rimelig fordi verdien synker med omtrent samme prosent. GeoGebra gir en modell nær f(x)=14 050·0,813x. Da er f(6) omtrent 4 060 kr. Små avvik avhenger av avrunding.
-
2
Et folketall er registrert fra år 0 til år 8. En eksponentialmodell har R² = 0,993.
Er det sikkert at modellen gir et godt anslag for år 100? Begrunn.
Vis fasit
Nei. År 100 ligger svært langt utenfor datasettet. Samfunnsforhold, ressurser og vekstrate kan endre seg, så lang ekstrapolasjon er usikker.
-
3
En lineær modell og en andregradsmodell har R² = 0,94 og R² = 0,99. Andregradsmodellen gir negative høyder etter kort tid.
Hvilken modell bør velges?
Vis fasit
Den lineære modellen kan være best dersom den gir rimelig utvikling i det aktuelle området. Høyest R² kan ikke velges uten å vurdere situasjonen og grafens oppførsel.
-
4
En eksponentialmodell for en verdi er f(x)=25 000·0,91x.
Bruk GeoGebra til å finne når verdien blir lavere enn 10 000, og vis metoden.
Vis fasit
Tegn f og g(x)=10 000. Skjæringspunktet har x ≈ 9,72. Verdien blir derfor lavere enn 10 000 etter 10 hele perioder.
-
5
Finn et lite datasett fra en måling eller en troverdig offentlig kilde.
Lag spredningsdiagram, sammenlign minst to regresjonsmodeller, velg modell, beregn en verdi og vurder modellens begrensninger.
Vis fasit
Svaret vil variere. Det skal inneholde datakilde, akser med enheter, regresjonsuttrykk, R², begrunnet modellvalg, beregning og en vurdering av interpolasjon, ekstrapolasjon og gyldighetsområde.
GeoGebra-fremgangsmåten er kontrollert mot GeoGebras offisielle manual for Regneark, Vis-menyen, regresjonsanalyse med to variabler og FitGrowth-kommandoen.
