Andregradsfunksjoner
En andregradsfunksjon er en funksjon der den høyeste eksponenten til variabelen er 2. Standardformen er:
Grafen kalles en parabel. Den kan åpne oppover eller nedover og har alltid et toppunkt eller et bunnpunkt.
a bestemmer åpningen
a > 0 gir bunnpunkt. a < 0 gir toppunkt.
b flytter symmetrien
b påvirker hvor symmetrilinjen og topp- eller bunnpunktet ligger.
c er skjæring med y-aksen
Når x = 0, er f(0) = c.
Husk: En andregradsfunksjon må ha et x²-ledd med en koeffisient som ikke er 0.
Viktige begreper
Ord du trenger
Ord du trenger
Parabel
Den U-formede eller omvendt U-formede grafen til en andregradsfunksjon.
Toppunkt og bunnpunkt
Grafens høyeste eller laveste punkt.
Symmetrilinje
En loddrett linje som deler parabelen i to speilvendte deler.
Nullpunkt
En x-verdi der f(x) = 0, altså der grafen møter x-aksen.
Koeffisient
Et tall som står foran en variabel, som a foran x².
Konstantledd
Tallet c, som også er funksjonsverdien når x = 0.
Definisjonsmengde
Alle x-verdier funksjonen kan bruke. En vanlig andregradsfunksjon kan bruke alle reelle x-verdier.
Gyldighetsområde
De x-verdiene som faktisk gir mening i en praktisk modell.
Se andregradsfunksjoner forklart
Videoen viser standardformen og hvordan koeffisientene påvirker grafen i GeoGebra.
Slik henger uttrykket og grafen sammen
Koeffisienten a
Fortegnet avgjør om grafen åpner oppover eller nedover. Stor absoluttverdi gir en smalere parabel.
Koeffisienten b
Påvirker parabelens plassering sideveis sammen med a. Symmetrilinjen er x = −b2a.
Konstantleddet c
Bestemmer grafens skjæring med y-aksen: punktet er alltid (0, c).
To nullpunkter
Parabelen skjærer x-aksen to steder.
Ett nullpunkt
Topp- eller bunnpunktet ligger på x-aksen.
Ingen nullpunkter
Parabelen møter ikke x-aksen.
Hva gjør a, b og c med parabelen?
Velg a og flytt glidebryterne for b og c. Algebrafeltet viser funksjonsuttrykket, topp- eller bunnpunktet, skjæringen med y-aksen og nullpunktene.
Undersøk en andregradsfunksjon i GeoGebra
Åpne Graftegner.
Skriv f(x)=x^2-4x+3 i inntastingsfeltet og trykk Enter.
Velg Nullpunkt og trykk på grafen.
Velg Ekstremalpunkt for å finne topp- eller bunnpunktet.
Åpne menyen ved funksjonen og velg Verditabell.
Endre a, b og c i uttrykket og beskriv hvordan grafen forandrer seg.
Finn viktige egenskaper
Eksempel 1: Finn funksjonsverdien
Gitt f(x) = x² − 3x + 2. Finn f(4).
Eksempel 2: Finn nullpunktene
Gitt f(x) = x² − 5x + 6. Finn nullpunktene.
Eksempel 3: Praktisk modell
Høyden til en ball kan beskrives med h(t) = −5t² + 20t + 1. Her er t tiden i sekunder og h høyden i meter.
Arbeidsrekkefølge: Identifiser a, b og c, finn det du trenger fra grafen eller uttrykket, og tolk svaret i situasjonen.
Øv på andregradsfunksjoner
Oppgavene går fra å kjenne igjen uttrykk og lese koeffisienter til å bruke GeoGebra og vurdere praktiske modeller.
Nivå 1: Kjenn igjen og regn ut
Finn koeffisienter, funksjonsverdier og grafens retning.
↓
Nivå 1: Kjenn igjen og regn ut
Finn koeffisienter, funksjonsverdier og grafens retning.
Tips: Sammenlign uttrykket med f(x) = ax² + bx + c.
-
1
Hvilket uttrykk er en andregradsfunksjon: 3x + 2, x² − 4 eller 2x?
Vis fasit
x² − 4 er en andregradsfunksjon fordi høyeste eksponent er 2.
-
2
Finn a, b og c i f(x) = 2x² − 5x + 3.
Vis fasit
a = 2, b = −5 og c = 3.
-
3
Finn f(2) når f(x) = x² + 3x − 1.
Vis fasit
f(2) = 2² + 3·2 − 1 = 4 + 6 − 1 = 9.
-
4
Hvor skjærer grafen til f(x) = −x² + 4x + 5 y-aksen?
Vis fasit
c = 5, så grafen skjærer y-aksen i punktet (0, 5).
-
5
Åpner grafen til f(x) = −2x² + x + 4 oppover eller nedover?
Vis fasit
Den åpner nedover fordi a = −2 er negativ.
Nivå 2: Nullpunkter og graf
Bruk faktorisering, symmetri og GeoGebra.
↓
Nivå 2: Nullpunkter og graf
Bruk faktorisering, symmetri og GeoGebra.
Tips: Nullpunkter finnes der f(x) = 0.
-
1
Finn nullpunktene til f(x) = x² − 9.
Vis fasit
x² − 9 = (x − 3)(x + 3), så nullpunktene er x = −3 og x = 3.
-
2
Finn bunnpunktet til f(x) = x² − 4.
Vis fasit
Grafen er symmetrisk om y-aksen. Bunnpunktet er (0, −4).
-
3
Tegn f(x) = x² − 4x + 3 i GeoGebra.
Finn nullpunktene og bunnpunktet.
Vis fasit
Nullpunktene er x = 1 og x = 3. Bunnpunktet er (2, −1).
-
4
Hvilken graf er smalest: f(x) = 0,5x² eller g(x) = 3x²? Begrunn.
Vis fasit
g(x) = 3x² er smalest fordi |3| er større enn |0,5|.
-
5
f(x) = −x² + 6x beskriver høyden til et kast.
Når er høyden 0, og hva betyr svarene?
Vis fasit
−x² + 6x = x(−x + 6) = 0 gir x = 0 eller x = 6. Kastet starter på bakken ved x = 0 og treffer bakken igjen ved x = 6.
Nivå 3: Utforsk og argumenter
Se sammenhengen mellom uttrykk, graf og praktisk situasjon.
↓
Nivå 3: Utforsk og argumenter
Se sammenhengen mellom uttrykk, graf og praktisk situasjon.
Tips: Begrunn svarene med både koeffisientene og grafens egenskaper.
-
1
Sammenlign f(x) = x² − 4 og g(x) = x² + 3.
Hva er likt, og hva er forskjellig?
Vis fasit
Begge åpner oppover, har samme bredde og er symmetriske om y-aksen. g ligger 7 enheter høyere enn f. Bunnpunktene er (0, −4) og (0, 3).
-
2
En funksjon har nullpunktene −1 og 2 og a = 1.
Finn funksjonsuttrykket.
Vis fasit
f(x) = (x + 1)(x − 2) = x² − x − 2.
-
3
Høyden til en ball er h(t) = −5t² + 20t + 1,5.
Finn starthøyden, maksimal høyde og omtrent når ballen treffer bakken.
Vis fasit
Starthøyden er h(0) = 1,5 m. Toppunktet ligger ved t = 2, og h(2) = 21,5 m. Med GeoGebra finner vi det positive nullpunktet t ≈ 4,07 sekunder.
-
4
Modellen A(x) = x(20 − x) beskriver arealet til et rektangel.
Forklar hvorfor modellen er en andregradsfunksjon, og finn største mulige areal.
Vis fasit
A(x) = 20x − x², som har et x²-ledd. Grafen åpner nedover. Symmetrien ligger ved x = 10, og A(10) = 100. Største areal er 100.
-
5
Lag en andregradsfunksjon som har nullpunktene −2 og 3 og skjærer y-aksen i −6.
Vis at uttrykket oppfyller begge kravene.
Vis fasit
f(x) = (x + 2)(x − 3) = x² − x − 6. Faktorene gir nullpunktene −2 og 3, og f(0) = −6.
