Lineær funksjon
En lineær funksjon har en graf som er en rett linje. Den kan skrives med den generelle formelen f(x) = ax + b.
Tallet a forteller hvor mye funksjonsverdien endrer seg når x øker med 1. Tallet b forteller hvor grafen skjærer y-aksen.
Grafen er en rett linje og skjærer y-aksen i punktet (0, 1).
Hovedidé: a bestemmer hvordan linjen stiger eller synker. b bestemmer hvor linjen starter på y-aksen.
Hva forteller a og b i den generelle formelen?
Stigningstall
Viser endringen i f(x) når x øker med 1. Positiv a gir stigende linje. Negativ a gir synkende linje.
Konstantledd
Er funksjonsverdien når x = 0. Punktet (0, b) er stedet der grafen skjærer y-aksen.
Uavhengig variabel
Er inputverdien vi velger. Når x endres, endres funksjonsverdien etter funksjonsregelen.
Funksjonsverdi
f(x) er outputverdien. På grafen er f(x) det samme som punktets y-verdi.
Spesialtilfelle: Når b = 0, går grafen gjennom origo. Da kalles funksjonen ofte en proporsjonal funksjon.
Stigningstall og konstantledd
Hovedvideoen forklarer hva a og b betyr i en lineær funksjon. Under finner du også to korte ekstravideoer som viser begge retninger mellom funksjonsuttrykk og graf.
Fra funksjonsuttrykk til graf
Se hvordan uttrykket brukes til å lage tabell, punkter og en rett linje.
↓
Fra funksjonsuttrykk til graf
Se hvordan uttrykket brukes til å lage tabell, punkter og en rett linje.
Fra graf til funksjonsuttrykk
Se hvordan stigningstall og konstantledd leses av fra en rett linje.
↓
Fra graf til funksjonsuttrykk
Se hvordan stigningstall og konstantledd leses av fra en rett linje.
Fra funksjonsuttrykk til graf
Vi tegner funksjonen f(x) = 2x + 1. Først lager vi noen funksjonsverdier. Deretter plasserer vi punktene og trekker en rett linje gjennom dem.
Manuell framgangsmåte
Kontroll: Når x = 0, får vi f(0) = 1. Grafen skal derfor skjære y-aksen i punktet (0, 1).
Punktene fra verditabellen ligger nøyaktig på grafen.
| x | f(x) | Punkt |
|---|---|---|
| −2 | −3 | (−2, −3) |
| −1 | −1 | (−1, −1) |
| 0 | 1 | (0, 1) |
| 1 | 3 | (1, 3) |
| 2 | 5 | (2, 5) |
Utforsk den generelle formelen
Dra i kontrollene og se hvordan grafen til den generelle formelen f(x) = ax + b endres når a eller b endres.
Trekanten viser endringen når x øker med 1.
| x | f(x) |
|---|---|
| −2 | −1 |
| −1 | 0 |
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 3 |
Fra graf til funksjonsuttrykk
Når grafen er en rett linje, finner vi først b ved å se hvor linjen skjærer y-aksen. Deretter finner vi a ved å sammenligne to punkter på linjen.
Eksempel
Grafen bruker hele bredden. Fra (0, 1) går vi 1 mot høyre og 2 opp.
Husk: b leses av på y-aksen. a finnes som endring i f(x) delt på endring i x.
GeoGebra som kontrollverktøy
Koordinatsystemene på denne siden er bygget inn med JSXGraph. Du kan fortsatt skrive det samme funksjonsuttrykket i GeoGebra for å kontrollere grafen og sammenligne resultatet.
Øv på lineære funksjoner
Arbeid manuelt først. Bruk det interaktive koordinatsystemet til å kontrollere grafer og undersøke hvordan a og b påvirker linjen.
Nivå 1: Finn a og b
Les stigningstall og konstantledd direkte fra uttrykket.
↓
Nivå 1: Finn a og b
Les stigningstall og konstantledd direkte fra uttrykket.
Tips: I f(x) = ax + b står a foran x, mens b står alene.
- 1
f(x) = 3x + 2
Finn a og b. Stiger eller synker grafen?
Vis fasit
a = 3 og b = 2.Grafen stiger fordi a er positiv.
- 2
f(x) = −2x + 5
Finn a og b. Hvor skjærer grafen y-aksen?
Vis fasit
a = −2 og b = 5.Grafen skjærer y-aksen i (0, 5).
- 3
f(x) = 0,5x − 3
Finn a og b.
Vis fasit
a = 0,5 og b = −3.
- 4
f(x) = 4x
Hva er b, og hvilket punkt må grafen gå gjennom?
Vis fasit
b = 0.Grafen går gjennom origo (0, 0).
- 5
f(x) = −x + 1
Hva er stigningstallet når det bare står −x?
Vis fasit
a = −1 og b = 1.−x betyr −1 · x.
Nivå 2: Lag tabell og graf
Regn ut funksjonsverdier og tegn rette linjer.
↓
Nivå 2: Lag tabell og graf
Regn ut funksjonsverdier og tegn rette linjer.
Tips: Bruk x = −2, −1, 0, 1 og 2 dersom oppgaven ikke oppgir andre verdier.
- 1
f(x) = x + 2
Lag verditabell og tegn grafen.
Vis fasit
Punkter: (−2, 0), (−1, 1), (0, 2), (1, 3), (2, 4).
- 2
f(x) = 2x − 1
Lag verditabell og tegn grafen.
Vis fasit
Punkter: (−2, −5), (−1, −3), (0, −1), (1, 1), (2, 3).
- 3
f(x) = −x + 3
Lag verditabell. Forklar hvorfor grafen synker.
Vis fasit
Punkter: (−2, 5), (−1, 4), (0, 3), (1, 2), (2, 1).Grafen synker fordi a = −1.
- 4
f(x) = 0,5x + 1
Bruk x = −4, −2, 0, 2 og 4. Tegn grafen.
Vis fasit
Punkter: (−4, −1), (−2, 0), (0, 1), (2, 2), (4, 3).
- 5
f(x) = −2x
Tegn grafen og forklar hva som er spesielt med b.
Vis fasit
b = 0.Grafen går gjennom origo. Punkter kan være (−2, 4), (−1, 2), (0, 0), (1, −2), (2, −4).
Nivå 3: Finn uttrykket
Bruk punkter og grafegenskaper til å bestemme a og b.
↓
Nivå 3: Finn uttrykket
Bruk punkter og grafegenskaper til å bestemme a og b.
Tips: Finn først b dersom ett av punktene har x = 0. Bruk deretter endring i f(x) delt på endring i x.
- 1
En linje går gjennom (0, 2) og (1, 5).
Finn funksjonsuttrykket.
Vis fasit
f(x) = 3x + 2.b = 2 og a = (5 − 2) ÷ (1 − 0) = 3.
- 2
En linje går gjennom (0, 4) og (2, 0).
Finn funksjonsuttrykket.
Vis fasit
f(x) = −2x + 4.a = (0 − 4) ÷ (2 − 0) = −2.
- 3
En linje har stigningstall 0,5 og går gjennom punktet (0, −2).
Skriv funksjonsuttrykket.
Vis fasit
f(x) = 0,5x − 2.
- 4
En linje går gjennom (−1, 1) og (1, 5).
Finn a, b og funksjonsuttrykket.
Vis fasit
a = 2, b = 3 og f(x) = 2x + 3.a = (5 − 1) ÷ (1 − (−1)) = 4 ÷ 2 = 2. Bruk punktet (1, 5): 5 = 2 · 1 + b, så b = 3.
- 5
To lineære funksjoner har samme stigningstall, men ulike konstantledd.
Hvordan vil grafene ligge i forhold til hverandre?
Vis fasit
Grafene er parallelle.De har samme retning fordi a er lik, men skjærer y-aksen på ulike steder fordi b er forskjellig.
