Lineære funksjoner i praktiske situasjoner
En lineær funksjon kan beskrive en størrelse som endrer seg med like mye for hver nye enhet. I en praktisk situasjon må vi forstå hva tallene i funksjonsuttrykket betyr, hvilke enheter de har, og hvilke x-verdier som faktisk gir mening.
Vi bruker en drosjetur som hovedeksempel. Turen har en startpris på 70 kr og koster 18 kr per kilometer.
Den generelle formelen og situasjonen
I den generelle formelen f(x) = ax + b er a = 18 og b = 70.
Hva må vi tolke?
Endring per enhet
I en praktisk situasjon forteller a hvor mye f(x) endrer seg når x øker med én enhet.
Startverdi
b er verdien når x = 0. Den kan være en startpris, en begynnelsesmengde eller en verdi ved starttidspunktet.
Enhet
Tallene må tolkes sammen med enhetene. Her måles x i kilometer og f(x) i kroner.
Gyldige verdier
I virkelige situasjoner kan ikke alle x-verdier brukes. En kjørt avstand kan for eksempel ikke være negativ.
Fra praktisk situasjon til funksjonsuttrykk
Videoen viser hvordan informasjon fra en praktisk situasjon brukes til å finne et lineært funksjonsuttrykk og tegne grafen.
Fra tekst til den generelle formelen
Vi finner først hva som endres per enhet, og deretter hva startverdien er. Til slutt setter vi tallene inn i f(x) = ax + b.
Bestem hva x og f(x) betyr
La x være antall kjørte kilometer, og la f(x) være totalprisen i kroner.
Finn endringen per enhet
Prisen øker med 18 kr for hver kilometer. Derfor er stigningstallet a = 18 kr/km.
Finn startverdien
Turen koster 70 kr før bilen har kjørt noen kilometer. Derfor er b = 70 kr.
Sett inn i den generelle formelen
f(x) = ax + b blir f(x) = 18x + 70.
Eksempel: Pris for 5 km
Tolkning: En drosjetur på 5 km koster 160 kr.
| Avstand x (km) | Pris f(x) (kr) | Punkt |
|---|---|---|
| 0 | 70 | (0, 70) |
| 2 | 106 | (2, 106) |
| 5 | 160 | (5, 160) |
| 8 | 214 | (8, 214) |
| 12 | 286 | (12, 286) |
Grafen starter ved 70 kr og øker med 18 kr for hver kilometer.
Finn prisen for ulike avstander
Flytt avstanden. Punktet viser koordinatparet (avstand, pris), og hjelpelinjene viser hvordan verdiene leses av på aksene.
Punktet (5, 160) betyr at 5 km koster 160 kr.
Hva forteller grafen om situasjonen?
Les alltid med enheter: Punktet (8, 214) betyr ikke bare «8 og 214». Det betyr 8 kilometer og 214 kroner.
Den samme formelen kan beskrive mye forskjellig
Formen f(x) = ax + b er den samme, men betydningen av x, f(x), a og b avhenger av situasjonen.
Sykkelutleie
Det koster 90 kr å låne en sykkel og 35 kr per time.
f(x) = 35x + 90x: timer · f(x): pris i kroner
Vanntank
En tank inneholder 120 liter og fylles med 8 liter per minutt.
f(x) = 8x + 120x: minutter · f(x): liter vann
Temperatur
Temperaturen er 14 °C og synker med 2 °C per time.
f(x) = −2x + 14x: timer · f(x): temperatur i °C
Kontroller funksjonsuttrykket
Du kan skrive f(x)=18x+70 i GeoGebra og kontrollere at grafen går gjennom punktene i verditabellen. Husk å bruke en skala som passer til kilometer og kroner.
Øv på praktiske lineære funksjoner
Skriv hva x og f(x) betyr, ta med enheter, og forklar hva a og b forteller i hver situasjon.
Nivå 1: Tolk uttrykket
Finn betydningen av a, b, x og f(x).
↓
Nivå 1: Tolk uttrykket
Finn betydningen av a, b, x og f(x).
Tips: a er endringen per enhet, mens b er verdien når x = 0.
-
1
En sykkelutleie beskrives med f(x) = 40x + 80, der x er antall timer.
Hva betyr 40 og 80?
Vis fasit
40 kr per time og 80 kr i startpris.
-
2
En tank beskrives med f(x) = 6x + 50, der x er antall minutter.
Hva er mengden vann ved start, og hvor raskt fylles tanken?
Vis fasit
50 liter ved start og 6 liter per minutt.
-
3
Temperaturen beskrives med f(x) = −3x + 12.
Stiger eller synker temperaturen, og med hvor mye per time?
Vis fasit
Den synker med 3 °C per time.
-
4
En mobilpakke beskrives med f(x) = 2x + 199, der x er antall ekstra gigabyte.
Hva betyr punktet (5, 209)?
Vis fasit
5 ekstra GB gir en totalpris på 209 kr.
-
5
En parkering koster f(x) = 25x + 15 kroner, der x er antall timer.
Hva koster parkeringen når x = 0?
Vis fasit
15 kr.Dette er startprisen.
Nivå 2: Lag funksjonsuttrykket
Finn a og b fra teksten og bruk den generelle formelen.
↓
Nivå 2: Lag funksjonsuttrykket
Finn a og b fra teksten og bruk den generelle formelen.
Tips: Skriv først f(x) = ax + b. Sett inn endringen per enhet som a og startverdien som b.
-
1
En kajakk koster 120 kr å leie og 55 kr per time.
Lag et funksjonsuttrykk for totalprisen.
Vis fasit
f(x) = 55x + 120, der x er antall timer.
-
2
En beholder har 75 liter og fylles med 10 liter per minutt.
Lag et funksjonsuttrykk for vannmengden.
Vis fasit
f(x) = 10x + 75, der x er antall minutter.
-
3
Et batteri har 96 % strøm og mister 8 prosentpoeng per time.
Lag et funksjonsuttrykk for batteriprosenten.
Vis fasit
f(x) = −8x + 96.
-
4
Et treningssenter tar 249 kr i fast månedspris og 30 kr per gruppetime.
Lag et funksjonsuttrykk for månedskostnaden.
Vis fasit
f(x) = 30x + 249, der x er antall gruppetimer.
-
5
En plante er 14 cm høy og vokser 2,5 cm per uke.
Lag et funksjonsuttrykk for høyden.
Vis fasit
f(x) = 2,5x + 14, der x er antall uker.
Nivå 3: Regn, tolk og vurder
Bruk uttrykket og vurder hvilke svar som gir mening.
↓
Nivå 3: Regn, tolk og vurder
Bruk uttrykket og vurder hvilke svar som gir mening.
Tips: Et matematisk svar må alltid tolkes i situasjonen og skrives med riktig enhet.
-
1
En drosjetur beskrives med f(x) = 22x + 65.
Hva koster en tur på 7,5 km?
Vis fasit
230 kr.f(7,5) = 22 · 7,5 + 65 = 165 + 65 = 230.
-
2
En tank beskrives med f(x) = 12x + 40.
Når inneholder tanken 160 liter?
Vis fasit
Etter 10 minutter.12x + 40 = 160 gir 12x = 120 og x = 10.
-
3
Temperaturen beskrives med f(x) = −4x + 18.
Når er temperaturen 2 °C?
Vis fasit
Etter 4 timer.−4x + 18 = 2 gir −4x = −16 og x = 4.
-
4
En plante beskrives med f(x) = 3x + 20.
Gir x = −5 mening i situasjonen? Forklar.
Vis fasit
Vanligvis ikke.Hvis x er antall uker etter målingen startet, kan x ikke være negativ.
-
5
En beholder tømmes etter formelen f(x) = −15x + 180.
Hvor lenge kan denne formelen brukes før vannmengden blir negativ?
Vis fasit
Til og med 12 minutter.−15x + 180 = 0 gir x = 12. Etter dette ville formelen gitt negativ vannmengde.
