Hva er en funksjon?

Funksjoner

Kort forklart

Hva er en funksjon?

En funksjon er en regel som kobler sammen to størrelser. Vi setter inn en verdi, følger regelen og får én bestemt verdi ut. Verdien vi setter inn, kalles ofte x. Verdien vi får ut, kalles ofte y eller f(x).

Tenk deg at én kinobillett koster 120 kroner. Antallet billetter bestemmer prisen. Når vi kjenner antallet, kan vi regne ut nøyaktig hvor mye vi må betale.

Funksjonen som en maskin

x
antall

Gang med 120

y
pris

Regelen kan skrives som y = 120x. Setter vi inn x = 3, får vi y = 360.

Sammenhørende verdier

x: billetter	y: pris
0	0 kr
1	120 kr
2	240 kr
3	360 kr

Hver x-verdi gir nøyaktig én y-verdi. Derfor beskriver tabellen en funksjon.

Kjernen: Én tillatt input skal gi nøyaktig én output.

Viktige begreper

Ordene du trenger

De samme delene kan ha flere navn. Det viktigste er å forstå hvilken rolle de har i funksjonen.

Input

Verdien vi setter inn i funksjonen. Input er ofte x-verdien.

Output

Verdien funksjonen gir tilbake. Output er ofte y eller f(x).

Variabel

En størrelse som kan ha ulike verdier, for eksempel x og y.

Funksjonsregel

Regelen som forteller hva vi skal gjøre med inputverdien.

Funksjonsverdi

Outputverdien vi får for en bestemt x-verdi, for eksempel f(4).

Avhengig verdi

Y-verdien avhenger av hvilken x-verdi vi setter inn.

Video

Se hva en funksjon er

Videoen viser hvordan en funksjon kobler input og output, og hvordan den samme funksjonen kan uttrykkes på flere måter.

Slik gjør du det

Regn ut en funksjonsverdi manuelt

Vi bruker funksjonen f(x) = 2x + 3. Uttrykket betyr: gang x med 2, og legg deretter til 3.

Finn f(4)

f(x) = 2x + 3 funksjonsregelen

f(4) = 2 · 4 + 3 sett inn x = 4

f(4) = 8 + 3 gang først

f(4) = 11 output

Svar: Når x = 4, er funksjonsverdien 11.

To skrivemåter

y = 2x + 3 Viser sammenhengen mellom x og y.

f(x) = 2x + 3 Navngir funksjonen f og gjør det lett å skrive f(4).

f(4) = 11 Betyr at input 4 gir output 11.

Husk: Tallet inni parentesen i f(x) er inputverdien. Erstatt x med dette tallet og regn ut.

Utforsk selv

Prøv funksjonsmaskinen

Flytt på x-verdien og følg med på hva funksjonen f(x) = 2x + 3 gir som output. Kontroller utregningen som vises under maskinen.

Velg input, x 2

Prøv både positive og negative x-verdier. Funksjonsregelen er den samme hver gang.

Gang med 2og legg til 3

f(2) = 2 · 2 + 3 = 7

Sjekk regelen

Er sammenhengen en funksjon?

For at en sammenheng skal være en funksjon, må hver tillatte input ha nøyaktig én output. Flere forskjellige inputverdier kan gjerne gi samme output. Problemet oppstår først når én input får flere ulike outputverdier.

✓

Dette er en funksjon

1→4

2→6

3→8

Hver input har bare én tilhørende output.

Dette er ikke en funksjon

2→6

2→9

3→8

Inputverdien 2 får to forskjellige outputverdier.

Viktig presisering: To forskjellige x-verdier kan gi samme y-verdi. Det er fortsatt en funksjon.

Representasjoner

Den samme funksjonen på flere måter

En funksjon kan beskrives med ord, uttrykk, tabell og punkter. Alle framstillingene viser den samme sammenhengen, men framhever ulike deler av den.

Med ord og uttrykk

En person får 4 poeng for hver oppgave som løses riktig.

f(x) = 4x

x er antall riktige oppgaver, og f(x) er antall poeng.

Med tabell og punkter

x	f(x)
0	0
1	4
2	8
3	12

(0, 0)(1, 4)(2, 8)(3, 12)

Se sammenhengen: Hver rad i tabellen blir et punkt med koordinatene (x, f(x)).

Graf og kontroll

Se funksjonen i en nøyaktig graf

Grafen under bygges med JSXGraph. Punkter, akser og funksjonsverdier bruker faktiske matematiske koordinater, ikke håndplasserte piksler. Flytt x-verdien og se hvordan punktet (x, f(x)) beveger seg langs grafen.

Den markerte prikken ligger alltid nøyaktig i punktet (x, f(x)).

Undersøk et punkt

Velg x-verdi 4

Funksjonsverdi f(4) = 11

f(4) = 2 · 4 + 3 = 11

x	f(x)
−2	−1
−1	1
0	3
1	5
2	7
4	11

Kontroller den samme funksjonen i GeoGebra

GeoGebra er et separat kontrollverktøy. Det er ikke bygd inn i artikkelen. Bruk disse trinnene for å kontrollere grafen og verditabellen:

Åpne Graftegner.

Skriv f(x)=2x+3 i inntastingsfeltet og trykk Enter.

Åpne menyen ved funksjonen og velg Verditabell.

Velg startverdi −2, sluttverdi 4 og trinnstørrelse 1.

Kontroller at raden x = 4 viser f(4) = 11.

Bruk verktøyene klokt: Regn manuelt først. Bruk deretter grafen og GeoGebra til å kontrollere og utforske.

Prøv selv

Øv på funksjoner

Regn manuelt og skriv tydelig hva som er input, regel og output. Bruk GeoGebra til å kontrollere utvalgte svar.

Nivå 1: Input og output

Bruk enkle funksjonsregler og finn riktig funksjonsverdi.

↓

Tips: Sett inn x-verdien i regelen. Regn multiplikasjon før addisjon og subtraksjon.

1
f(x) = 3x
Finn f(4).

Vis fasit
f(4) = 123 · 4 = 12.
2
g(x) = x + 5
Finn g(7).

Vis fasit
g(7) = 127 + 5 = 12.
3
h(x) = 2x + 1
Finn h(5).

Vis fasit
h(5) = 112 · 5 + 1 = 10 + 1 = 11.
4
En funksjonsmaskin ganger input med 4. Hva blir output når input er 6?

Vis fasit
Output er 24.4 · 6 = 24.
5
I funksjonen y = 10x er x = 3. Hva er input, og hva er output?

Vis fasit
Input er 3, og output er 30.y = 10 · 3 = 30.

Nivå 2: Tabeller og funksjonsregler

Regn med negative verdier, fyll ut tabeller og vurder funksjoner.

↓

Tips: Bruk parentes rundt negative x-verdier når du setter dem inn i et uttrykk.

1
f(x) = 2x − 3
Finn f(−2).

Vis fasit
f(−2) = −72 · (−2) − 3 = −4 − 3 = −7.
2
g(x) = 5 − x
Finn g(−4).

Vis fasit
g(−4) = 95 − (−4) = 5 + 4 = 9.
3
Fyll ut tabellen for h(x) = 3x + 2 når x = −1, 0, 1 og 2.

Vis fasit
Funksjonsverdiene er −1, 2, 5 og 8.h(−1)=−1, h(0)=2, h(1)=5 og h(2)=8.
4
Er sammenhengen 1 → 4, 2 → 4 og 3 → 6 en funksjon? Begrunn.

Vis fasit
Ja. Hver input har bare én output. At 1 og 2 begge gir 4, er tillatt.
5
Er sammenhengen 1 → 3, 2 → 5 og 2 → 7 en funksjon? Begrunn.

Vis fasit
Nei. Inputverdien 2 får to forskjellige outputverdier.

Nivå 3: Lag og tolk funksjoner

Finn regler fra situasjoner og forklar hva variablene betyr.

↓

Tips: Bestem først hva x skal bety. Skriv deretter en regel som gir outputverdien.

1
En bolle koster 25 kr. La x være antall boller og f(x) være total pris.
Lag en funksjonsregel og finn prisen for 6 boller.

Vis fasit
f(x) = 25x og f(6) = 150.Seks boller koster 150 kr.
2
Et spill gir 8 poeng for hvert nivå som fullføres, og du starter med 10 bonuspoeng.
Lag en regel for poengsummen p(x), og finn p(5).

Vis fasit
p(x) = 8x + 10 og p(5) = 50.8 · 5 + 10 = 40 + 10 = 50.
3
Funksjonen T(x) = 18x + 40 beskriver prisen for en aktivitet.
Hva kan 18, 40, x og T(x) bety?

Vis fasit
Mulig tolkning: 40 kr er en fast startpris, 18 kr er pris per enhet, x er antall enheter, og T(x) er totalprisen.
4
En funksjon har verdiene f(0)=3, f(1)=5, f(2)=7 og f(3)=9.
Foreslå en funksjonsregel som passer.

Vis fasit
f(x) = 2x + 3.Verdien starter på 3 og øker med 2 hver gang x øker med 1.
5
Skriv f(x) = 3x − 1 i GeoGebra og lag en verditabell fra x = −2 til x = 4.
Hvilket punkt i tabellen viser f(4), og stemmer det med manuell utregning?

Vis fasit
Punktet er (4, 11).f(4) = 3 · 4 − 1 = 12 − 1 = 11.

Hva er en funksjon?