Eksponentialfunksjon

%FunksjonerProsentVekstfaktor
Kort forklart

Fra prosentvis endring til eksponentialfunksjon

En eksponentialfunksjon brukes når en verdi endrer seg med den samme prosentandelen flere ganger, for eksempel hvert år, hver måned eller hvert døgn. Da blir den nye verdien regnet ut fra verdien i perioden før.

Et beløp som øker med 3 % hvert år, ganges med vekstfaktoren 1,03 for hvert år som går. Etter fire år kan vi skrive 18 000 · 1,034. For å lage en regel som virker for alle antall perioder, bruker vi variabelen x:

f(x) = 18 000 · 1,03x
18 000
startverdien
1,03
vekstfaktoren
x
antall perioder

Funksjonsverdien f(x) forteller hva verdien er etter x perioder. Skriver vi f(4), finner vi verdien etter fire perioder.

Vekst eller nedgang?

Vekstfaktor større enn 1
1,04 → økning på 4 %
Vekstfaktor mindre enn 1
0,92 → nedgang på 8 %
Når x = 0
f(0) = startverdien
Viktige begreper

Ord og symboler du bør kunne

Begrepene forklarer hvordan funksjonsuttrykket henger sammen med situasjonen.

↓

Eksponentialfunksjon

En funksjon der variabelen står i eksponenten, vanligvis skrevet f(x) = a · bx.

Startverdi – a

Verdien når x = 0. Grafen skjærer y-aksen i startverdien.

Vekstfaktor – b

Faktoren verdien ganges med for hver periode.

Variabel – x

Antall perioder, for eksempel år, måneder, døgn eller timer.

Funksjonsverdi – f(x)

Verdien modellen gir etter x perioder.

Eksponentiell vekst og nedgang

Vekst når b > 1. Nedgang når 0 < b < 1.

Video

Se eksponentialfunksjoner forklart

Videoen viser hvordan startverdi, vekstfaktor og eksponent brukes i en eksponentialfunksjon.

Fra regnestykke til funksjon

Bytt antall perioder med x

Når samme prosentvise endring gjentas, kan vi skrive utviklingen som et regnestykke. Deretter lager vi en funksjon som kan brukes for hvilket som helst antall perioder.

Etter én periode

18 000 · 1,03

Etter fire perioder

18 000 · 1,034

Etter x perioder

f(x) = 18 000 · 1,03x

Slik gjør du det

Lag og bruk en eksponentialfunksjon

Eksemplene viser økning, nedgang og hvordan et ferdig funksjonsuttrykk kan tolkes. På mobil vises forklaringene direkte under hvert regnetrinn.

Standardform

En eksponentialfunksjon skrives ofte slik:

I f(x) = a · bx
II a = startverdi, b = vekstfaktor

Eksempel 1: Et sparebeløp øker

Et sparebeløp er 12 000 kr og øker med 4 % hvert år. Lag en funksjon og finn beløpet etter tre år.

a = 12 000 finner startverdien
b = 1,04 finner vekstfaktoren
f(x) = 12 000 · 1,04x lager funksjonen
f(3) = 12 000 · 1,043 = 13 498,37 finner verdien etter tre år

Eksempel 2: Verdien synker

En motorsykkel er verdt 80 000 kr og synker med 8 % i verdi hvert år. Lag en funksjon og finn verdien etter fire år.

a = 80 000 finner startverdien
b = 1 − 0,08 = 0,92 finner vekstfaktoren
g(x) = 80 000 · 0,92x lager funksjonen
g(4) = 80 000 · 0,924 = 57 311,44 finner verdien etter fire år

Eksempel 3: Tolk et funksjonsuttrykk

En utvikling beskrives av funksjonen h(x) = 50 000 · 1,02x. Hva forteller tallene i funksjonen?

50 000 → startverdien er 50 000 tolker a
1,02 → økning på 2 % per periode tolker b
x → antall perioder tolker x
h(8) = 50 000 · 1,028 ≈ 58 583 bruker funksjonen

Huskeregel: I f(x) = a · bx er a startverdien, b vekstfaktoren og x antall perioder.

GeoGebra

Løs oppgaven i GeoGebra

Vi bruker funksjonen f(x) = 50 000 · 1,02x og finner verdien etter åtte år. I GeoGebra vises funksjonen i algebrafeltet til venstre og grafen i grafikkfeltet til høyre.

GeoGebra
Algebra Grafikk Verditabell

Algebrafelt

f(x) = 50000 · 1.02^x
A = (8, f(8))
A ≈ (8, 58582.97)
f(8) ≈ 58582.97
+ Skriv inn uttrykk eller kommando
0 2 4 6 8 10 50 000 54 000 58 000 62 000 A ≈ (8, 58 583) f(x)
1

Skriv inn funksjonen

Klikk i inntastingsfeltet og skriv f(x)=50000*1.02^x. Trykk Enter. Grafen tegnes automatisk.

2

Finn en bestemt verdi

Skriv f(8) for å finne funksjonsverdien etter åtte perioder.

3

Vis punktet på grafen

Skriv A=(8,f(8)). Da plasserer GeoGebra punktet som viser både x-verdien og funksjonsverdien.

4

Bruk verditabellen

Åpne verditabellen for å se verdiene for x = 0, 1, 2, 3 og videre. Tabellen gjør det lettere å følge utviklingen periode for periode.

GeoGebra-svar: f(8) ≈ 58 583. Etter åtte år er verdien altså omtrent 58 583.

Prøv selv

Øv på eksponentialfunksjoner

Oppgavene går fra å lese et funksjonsuttrykk, til å lage egne modeller og til slutt bruke GeoGebra til å undersøke når noe skjer.

Nivå 1: Les funksjonen

Finn startverdi, vekstfaktor og prosentvis endring.

↓

Tips: Tallet foran potensen er startverdien. Tallet som opphøyes i x, er vekstfaktoren.

  1. 1

    I funksjonen f(x) = 9000 · 1,05x: Finn startverdien og den prosentvise endringen.

    Vis fasit

    Svar: Startverdien er 9000, og verdien øker med 5 % per periode. a = 9000 og b = 1,05.

  2. 2

    I funksjonen g(x) = 120 000 · 0,88x: Er det vekst eller nedgang, og hvor mange prosent?

    Vis fasit

    Svar: Nedgang på 12 % per periode. 1 − 0,88 = 0,12 = 12 %.

  3. 3

    Hva er f(0) når f(x) = 3500 · 1,07x?

    Vis fasit

    Svar: 3500 1,070 = 1, så f(0) = 3500.

  4. 4

    En funksjon har vekstfaktor 1,012. Hvor stor er den prosentvise økningen?

    Vis fasit

    Svar: 1,2 % økning. 1,012 − 1 = 0,012 = 1,2 %.

  5. 5

    Regn ut h(2) når h(x) = 4000 · 0,95x.

    Vis fasit

    Svar: 3610 4000 · 0,952 = 3610.

Nivå 2: Lag en modell

Gjør en tekstoppgave om til en eksponentialfunksjon og finn en funksjonsverdi.

↓

Tips: Start med standardformen f(x) = a · bx.

  1. 1

    25 000 kr øker med 3,5 % hvert år. Lag en funksjon og finn beløpet etter fem år.

    Vis fasit

    Svar: f(x) = 25 000 · 1,035x, og f(5) ≈ 29 692,16 kr.

  2. 2

    En bil er verdt 340 000 kr og synker med 14 % i verdi hvert år. Lag en funksjon og finn verdien etter fem år.

    Vis fasit

    Svar: g(x) = 340 000 · 0,86x, og g(5) ≈ 159 945,19 kr.

  3. 3

    En bakteriekultur starter med 600 bakterier og øker med 18 % hver time. Lag en funksjon og finn antallet etter fire timer.

    Vis fasit

    Svar: B(x) = 600 · 1,18x, og B(4) ≈ 1163 bakterier.

  4. 4

    Et folketall på 18 000 synker med 1,5 % hvert år. Lag en funksjon og finn folketallet etter seks år.

    Vis fasit

    Svar: P(x) = 18 000 · 0,985x, og P(6) ≈ 16 440.

  5. 5

    En verdi starter på 72 000 og øker med 2,5 % hvert år. Bruk GeoGebra til å finne verdien etter ti år.

    Vis fasit

    Svar: f(x) = 72 000 · 1,025x, og f(10) ≈ 92 166. Skriv f(x)=72000*1.025^x og deretter f(10).

Nivå 3: Undersøk med GeoGebra

Finn når en verdi passerer en grense, eller når to modeller blir like.

↓

Tips: Tegn grafen, bruk verditabellen og kontroller svaret med en funksjonsverdi.

  1. 1

    En tjeneste har 250 brukere og vokser med 12 % per måned. Når passerer antallet 500 brukere?

    Vis fasit

    Svar: Etter 7 måneder. f(x)=250*1.12^x. f(6) er under 500, mens f(7) ≈ 553.

  2. 2

    Konto A starter med 20 000 kr og vokser med 5 % årlig. Konto B starter med 23 000 kr og vokser med 3 % årlig. Når blir konto A størst?

    Vis fasit

    Svar: Etter 8 år. Tegn f(x)=20000*1.05^x og g(x)=23000*1.03^x. Ved x = 8 er f(x) større enn g(x).

  3. 3

    En maskin er verdt 18 000 kr og synker med 7 % hvert år. Når blir verdien lavere enn 10 000 kr?

    Vis fasit

    Svar: Etter 9 år. f(x)=18000*0.93^x. f(8) er over 10 000, mens f(9) ≈ 9367.

  4. 4

    En tabell starter med 500 og hver ny verdi er 15 % større enn den forrige. Lag funksjonen og finn verdien når x = 6.

    Vis fasit

    Svar: f(x) = 500 · 1,15x, og f(6) ≈ 1156,53.

  5. 5

    Modell A er f(x) = 1500 · 1,08x. Modell B er g(x) = 2200 · 1,03x. Når blir modell A større enn modell B?

    Vis fasit

    Svar: Ved x = 9. Tegn begge grafene i GeoGebra. Ved x = 9 er f(9) ≈ 2999 og g(9) ≈ 2871.

Flere matematikkressurser

Andregradsfunksjoner

Regelbok: Funksjoner

Omvendt proporsjonale funksjoner

Geogebra: Regresjon

Oppdag mer fra Fagrommet

Abonner nå for å fortsette å lese og få tilgang til hele arkivet.

Fortsett å lese