Gjentatt prosentvis endring
Når en verdi endrer seg flere ganger, regner vi én endring om gangen. Etter den første endringen har vi fått en ny verdi. Den neste prosentendringen må derfor regnes ut fra denne nye verdien – ikke fra den opprinnelige.
Derfor kan vi ikke bare legge sammen prosentene. I stedet gjør vi hver prosentendring om til en vekstfaktor og ganger vekstfaktorene etter hverandre.
Eksempel: Først ned, så opp
En pris settes først ned med 20 % og øker deretter med 15 %.
Den samlede vekstfaktoren er 0,92. Det betyr at sluttverdien er 92 % av startverdien, altså en samlet nedgang på 8 %.
Når samme endring gjentas
Hvis noe øker med den samme prosenten flere ganger, bruker vi den samme vekstfaktoren flere ganger. Da kan multiplikasjonen skrives kortere som en potens.
Kort sagt: Ulike prosentendringer får hver sin vekstfaktor. Samme prosentendring flere ganger kan skrives med potens.
Viktige begreper
Ord du bør kunne
Begrepene hjelper deg å holde orden på flere prosentendringer.
↓
Ord du bør kunne
Begrepene hjelper deg å holde orden på flere prosentendringer.
I denne typen oppgaver må du følge endringene i riktig rekkefølge og bruke vekstfaktoren som hører til hver endring.
Startverdi
Verdien før den første prosentendringen.
Sluttverdi
Verdien etter at alle prosentendringene er gjennomført.
Flere endringer etter hverandre
Hver endring får sin egen vekstfaktor, for eksempel 0,80 · 1,15.
Samlet vekstfaktor
Produktet av vekstfaktorene. Den viser den totale endringen fra start til slutt.
Samme endring flere ganger
Den samme vekstfaktoren brukes i hver periode, for eksempel hvert år.
Potens
En kort skrivemåte for gjentatt multiplikasjon med samme faktor.
Se gjentatt prosentvis endring på video
Videoen viser hvordan flere prosentendringer kan regnes med vekstfaktorer, og hvordan samme prosentvise endring over tid kan skrives med potens.
Se på endringene før du regner
Det viktigste er å avgjøre om prosentendringene er forskjellige, eller om den samme prosenten gjentas flere ganger.
Forskjellige endringer
Skriv én vekstfaktor for hver endring: startverdi · k1 · k2 · …
Samlet endring
Gang vekstfaktorene sammen. Resultatet viser hvor stor sluttverdien er sammenlignet med startverdien.
Samme endring flere ganger
Når samme vekstfaktor gjentas, kan vi skrive startverdi · kn.
Tre ulike situasjoner
Eksemplene viser først en verdi som synker og deretter øker, så en verdi som øker og deretter synker, og til slutt en verdi som endrer seg med samme prosent flere ganger. Pek på en linje for å se forklaringen.
Oversikt
Følg endringene i riktig rekkefølge. Bruk potens først når den samme vekstfaktoren gjentas.
Eksempel 1: Prisen synker og øker senere
En terrengsykkel koster 6000 kr. Først settes prisen ned med 20 %. Senere øker butikken den nye prisen med 15 %. Hva blir sluttprisen, og hvor stor er den samlede prosentendringen?
Eksempel 2: Besøkstallet øker og synker senere
En fornøyelsespark har 24 000 besøkende i en måned. Neste måned øker besøkstallet med 12 %. Måneden etter synker det nye besøkstallet med 5 %. Hvor mange besøkende er det da, og hva er den samlede prosentendringen?
Eksempel 3: Samme prosentvise økning hvert år
Et sparebeløp på 18 000 kr øker med 3 % hvert år i fire år. Hvor stort er beløpet etter fire år? Vis først den gjentatte multiplikasjonen, og skriv den deretter som en potens.
Legg merke til: I de to første eksemplene er vekstfaktorene forskjellige og skrives hver for seg. I det siste eksempelet gjentas vekstfaktoren 1,03 fire ganger og kan derfor skrives som 1,034.
Hvorfor opphever ikke motsatte prosenter hverandre?
En nedgang på 20 % og en senere økning på 20 % gir 0,80 · 1,20 = 0,96. Økningen regnes av den reduserte verdien, så sluttverdien blir 4 % lavere enn startverdien.
Huskeregel: Forskjellige endringer: startverdi · k1 · k2 · …. Samme endring flere ganger: k · k · k · … = kn.
Øv på flere prosentendringer
Oppgavene går fra to ulike endringer, via mer sammensatte situasjoner, til samme prosentvise endring over tid og bruk av potens.
Nivå 1: To endringer etter hverandre
Finn riktig vekstfaktor for hver endring og regn ut sluttverdien.
↓
Nivå 1: To endringer etter hverandre
Finn riktig vekstfaktor for hver endring og regn ut sluttverdien.
Tips: Skriv vekstfaktorene i samme rekkefølge som endringene skjer.
-
1
En vare koster 2000 kr. Prisen settes ned med 10 % og økes deretter med 5 %. Finn sluttprisen.
Vis fasit
Svar: 1890 kr2000 · 0,90 · 1,05 = 1890.
-
2
Et elevtall på 800 øker med 4 % og synker deretter med 2 %. Finn det nye elevtallet.
Vis fasit
Svar: omtrent 815 elever800 · 1,04 · 0,98 = 815,36.
-
3
En maskin er verdt 50 000 kr. Verdien synker med 8 % og øker senere med 3 %. Finn sluttverdien.
Vis fasit
Svar: 47 380 kr50 000 · 0,92 · 1,03 = 47 380.
-
4
Et besøkstall på 15 000 øker med 20 % og synker deretter med 10 %. Finn sluttverdien.
Vis fasit
Svar: 16 200 besøk15 000 · 1,20 · 0,90 = 16 200.
-
5
Forklar hvorfor 10 % nedgang og 10 % økning ikke gir samme startverdi tilbake.
Vis fasit
Svar: Samlet faktor er 0,99.0,90 · 1,10 = 0,99. Sluttverdien er derfor 1 % lavere enn startverdien.
Nivå 2: Sammensatte endringer
Bruk flere vekstfaktorer og finn den samlede prosentendringen.
↓
Nivå 2: Sammensatte endringer
Bruk flere vekstfaktorer og finn den samlede prosentendringen.
Tips: Gang vekstfaktorene sammen for å finne samlet vekstfaktor.
-
1
En pris på 5000 kr synker med 20 % og øker deretter med 15 %. Finn sluttprisen og samlet prosentendring.
Vis fasit
Svar: 4600 kr og 8 % nedgang.5000 · 0,80 · 1,15 = 4600. Samlet faktor: 0,92.
-
2
Et medlemstall på 12 000 øker med 8 %, synker med 4 % og øker til slutt med 2 %. Finn sluttverdien.
Vis fasit
Svar: omtrent 12 690 medlemmer12 000 · 1,08 · 0,96 · 1,02 = 12 690,43.
-
3
En PC koster 10 000 kr. Prisen øker med 12 % og settes deretter ned med 20 %. Finn sluttprisen og samlet prosentendring.
Vis fasit
Svar: 8960 kr og 10,4 % nedgang.10 000 · 1,12 · 0,80 = 8960. Samlet faktor: 0,896.
-
4
Et utslipp på 900 tonn reduseres med 10 %, deretter med 8 % og til slutt med 5 %. Finn sluttverdien.
Vis fasit
Svar: 707,94 tonn900 · 0,90 · 0,92 · 0,95 = 707,94.
-
5
En verdi øker med 25 % og synker deretter med 20 %. Finn samlet vekstfaktor og forklar resultatet.
Vis fasit
Svar: Samlet vekstfaktor er 1.1,25 · 0,80 = 1. I dette spesielle tilfellet blir sluttverdien lik startverdien.
Nivå 3: Samme endring og potens
Skriv gjentatt multiplikasjon som potens og bruk den i tekstoppgaver.
↓
Nivå 3: Samme endring og potens
Skriv gjentatt multiplikasjon som potens og bruk den i tekstoppgaver.
Tips: Bruk potens bare når den samme vekstfaktoren gjentas.
-
1
Skriv 0,96 · 0,96 · 0,96 · 0,96 · 0,96 som en potens.
Vis fasit
Svar: 0,965Faktoren 0,96 brukes fem ganger.
-
2
Et beløp på 20 000 kr øker med 4 % hvert år i tre år. Skriv opp og regn ut sluttbeløpet.
Vis fasit
Svar: 22 497,28 kr20 000 · 1,043 = 22 497,28.
-
3
En bil er verdt 300 000 kr og synker med 12 % hvert år i fire år. Finn verdien etter fire år.
Vis fasit
Svar: omtrent 179 909 kr300 000 · 0,884 = 179 908,61.
-
4
En by har 50 000 innbyggere og vokser med 2,5 % hvert år i seks år. Finn folketallet etter seks år.
Vis fasit
Svar: omtrent 57 985 innbyggere50 000 · 1,0256 = 57 984,67.
-
5
Et produkt øker med 3 % hvert år i tre år og får deretter 10 % rabatt. Skriv et uttrykk og finn sluttprisen når startprisen er 4000 kr.
Vis fasit
Svar: omtrent 3934 kr4000 · 1,033 · 0,90 = 3933,82.
