Med og uten tilbakelegging
Med tilbakelegging: Det vi trekker, legges tilbake før neste trekning. Vi blander på nytt. Innholdet er det samme hver gang.
Uten tilbakelegging: Det vi trekker, holdes utenfor. Da endres innholdet før neste trekning.
Vi bruker en pose med 3 røde og 2 blå kuler. Alle kulene har like stor sjanse til å bli trukket. Første gang er P(rød) = 35. Det er ved neste trekning forskjellen kommer.
Viktige begreperOrd du bør kunne
Ord du bør kunne
Tilbakelegging
At et trukket objekt legges tilbake før neste trekning, slik at det kan trekkes igjen.
Uten tilbakelegging
Objektet holdes utenfor. Det blir ett færre objekt å trekke fra.
Uavhengige trekninger
Første utfall endrer ikke sannsynlighetene i den neste trekningen. Dette gjelder når vi legger tilbake og blander godt.
Avhengige trekninger
Sannsynligheten i neste trekning avhenger av hva som allerede er trukket.
Betinget sannsynlighet
Sannsynlighet når vi vet at noe allerede har skjedd. For eksempel sjansen for rød i andre trekning når første var rød.
En hel vei
En bestemt rekkefølge gjennom et valgtre, for eksempel rød først og blå etterpå. Vi multipliserer sannsynlighetene langs veien.
Forsøk med og uten tilbakelegging
Her sammenlignes to korttrekninger med og uten tilbakelegging. Legg merke til hva som skjer med antall kort før andre trekning.
Video: getSmart · 7 min 40 sek. Åpne på YouTube.
Se på posen før hvert trekk
Eksempel 1 · To røde med tilbakelegging
Posen har 3 røde og 2 blå kuler. Trekk én kule, legg den tilbake og bland godt før du trekker igjen.
Eksempel 2 · To røde uten tilbakelegging
Vi begynner igjen med 3 røde og 2 blå. Nå holder vi første kule utenfor.
Eksempel 3 · Én av hver farge uten tilbakelegging
«Én av hver» kan skje på to måter: rød–blå eller blå–rød.
| Vei | Med tilbakelegging | Uten tilbakelegging |
|---|---|---|
| R–R | 925 | 620 |
| R–B | 625 | 620 |
| B–R | 625 | 620 |
| B–B | 425 | 220 |
| Sum | 1 | 1 |
Oppdater neste gren
Med tilbakelegging: samme innhold før hvert trekk. Uten tilbakelegging: tell på nytt hva som er igjen. Multipliser langs én vei. Legg sammen forskjellige veier som gir hendelsen.
For avhengige hendelser bruker vi sannsynligheten for den andre hendelsen gitt det første utfallet. Vi kan ikke alltid multiplisere to uendrede sannsynligheter.
Hva er igjen etter første trekk?
Startposen har 3 røde og 2 blå kuler. Velg hvordan vi trekker, og anta deretter at første kule er rød eller blå. Se hvordan neste sjanse endrer seg.
Posen har 3 røde og 2 blå. Hva er P(to røde) uten tilbakelegging?
Velg et svar.
Oppgaver på tre nivåer
Svar på ark eller i Python der det er oppgitt. Prøv selv før du åpner fasiten.
Nivå 1
Se hva som er igjen.
Nivå 1
Se hva som er igjen.
- En pose har 4 røde og 2 blå kuler. Hva er P(rød) ved første trekning?
Vis fasit og forklaring
46 = 23. - Fra samme pose trekker du en rød kule og legger den tilbake. Hvor mange røde og hvor mange totalt er det før andre trekning?
Vis fasit og forklaring
Fortsatt 4 røde og 6 totalt. P(rød i andre trekning) = 46. - Du starter på nytt med 4 røde og 2 blå. En rød tas ut og legges ikke tilbake. Hva er sjansen for rød nå?
Vis fasit og forklaring
Det er 3 røde og 2 blå igjen: 5 totalt. Sjansen er 35. - Du starter på nytt med 4 røde og 2 blå. En blå tas ut og legges ikke tilbake. Hva er sjansen for rød nå?
Vis fasit og forklaring
Alle 4 røde er fortsatt i posen, og totalen er 5. Sjansen er 45. - Fem ulike navnelapper ligger i en bolle. Du skal trekke to forskjellige vinnere. Bør du bruke tilbakelegging? Forklar.
Vis fasit og forklaring
Nei. Uten tilbakelegging kan ikke samme navnelapp bli trukket to ganger. Etter første trekning er 4 navn igjen.
Nivå 2
Regn langs én vei.
Nivå 2
Regn langs én vei.
- En pose har 3 røde og 2 blå kuler. Finn P(to blå) med tilbakelegging og god blanding mellom trekkene.
Vis fasit og forklaring
25 · 25 = 425 = 16 %. - Den samme startposen brukes uten tilbakelegging. Finn P(to blå).
Vis fasit og forklaring
25 · 14 = 220 = 110 = 10 %. - Åtte like lodd inneholder 3 vinnerlodd og 5 taperlodd. Du trekker tilfeldig to uten tilbakelegging. Finn P(to vinnerlodd).
Vis fasit og forklaring
38 · 27 = 656 = 328. - En pose har 4 røde og 2 blå kuler. Finn P(rød først, blå etterpå) uten tilbakelegging.
Vis fasit og forklaring
46 · 25 = 830 = 415. De 2 blå er fortsatt der etter den røde trekningen. - Den samme startposen brukes med tilbakelegging. Finn P(én rød og én blå i valgfri rekkefølge).
Vis fasit og forklaring
R–B og B–R må begge med: 46 · 26 + 26 · 46 = 1636 = 49.
Nivå 3
Kombiner veier og begrunn.
Nivå 3
Kombiner veier og begrunn.
- En pose har 4 røde og 2 blå kuler. Finn P(én av hver farge) uten tilbakelegging.
Vis fasit og forklaring
46 · 25 + 26 · 45 = 1630 = 815. - En pose har 3 røde og 2 blå kuler. To trekk uten tilbakelegging: Finn P(minst én rød).
Vis fasit og forklaring
Det motsatte er to blå. P(to blå) = 25 · 14 = 110. P(minst én rød) = 1 − 110 = 910 = 90 %. - Du trekker 3 kort uten tilbakelegging fra 5 røde og 3 svarte kort som er blandet godt. Finn P(tre røde).
Vis fasit og forklaring
58 · 47 · 36 = 60336 = 528. Oppdater antall røde og totalen etter hvert røde kort. - En pose har 3 røde og 2 blå. Noen hevder at RR, RB, BR og BB er fire like sannsynlige utfall uten tilbakelegging. Vis hvorfor det er feil.
Vis fasit og forklaring
RR: 620, RB: 620, BR: 620, BB: 220. Fargerekkefølgene har ulike sannsynligheter. De enkelte kulene kan være like sannsynlige uten at fargerekkefølgene er det. - En pose har 1 rød og 4 blå kuler. Sammenlign P(to røde) med og uten tilbakelegging.
Vis fasit og forklaring
Med: 15 · 15 = 125 = 4 %. Uten: 0, fordi den eneste røde er borte etter første røde trekk. Samme kule kan trekkes igjen bare med tilbakelegging.
