Flere hendelser
Når et forsøk har flere trinn, må vi holde oversikt over hele rekkefølgen. To myntkast kan for eksempel gi kron først og mynt etterpå.
Systematiske lister, tabeller og valgtrær hjelper oss å finne alle kombinasjonene uten å glemme noen eller telle samme utfall to ganger.
Vi skriver K for kron og M for mynt. KM og MK er to forskjellige utfall, selv om begge gir én kron. For to uavhengige kast med en rettferdig mynt er KK, KM, MK og MM like sannsynlige.
Viktige begreperOrd du bør kunne
Ord du bør kunne
Delforsøk
Ett trinn i et større forsøk, for eksempel det første myntkastet.
Sammensatt forsøk
Et forsøk med flere trinn. To myntkast regnes her som ett sammensatt forsøk.
Systematisk liste
En ordnet oversikt der vi holder første valg fast mens vi varierer det neste.
Tabell
Rader viser utfall i ett trinn, kolonner viser utfall i det andre. Hver rute gir én kombinasjon.
Valgtre
Et diagram med én forgrening for hvert nytt valg eller delforsøk. En hel vei fra start til slutt viser ett utfall.
Uavhengige hendelser
Det som skjer i ett delforsøk, endrer ikke sannsynlighetene i det neste. To vanlige myntkast er et eksempel.
Få oversikt over utfallsrommet
Se ulike måter å organisere kombinasjoner på. Legg merke til hvordan oversikten brukes til å telle mulige og gunstige utfall.
Video: getSmart · 13 min 53 sek. Åpne på YouTube.
Tre metoder – samme utfallsrom
Metode 1 · Systematisk liste
Ved to myntkast holder vi første kast fast, og varierer det andre.
Metode 2 · Tabell
| Første / andre | K | M |
|---|---|---|
| K | KK | KM |
| M | MK | MM |
Hver rute tilsvarer ett utfall. For hendelsen «nøyaktig én kron» er KM og MK gunstige.
Metode 3 · Valgtre
Følg én gren for første kast og én for andre. K = kron, M = mynt.
Et annet eksempel · Klær
Du har 2 gensere og 3 bukser. Hver genser kan brukes med hver bukse. Antall antrekk er 2 · 3 = 6.
En oversikt over 6 antrekk betyr ikke automatisk at hvert antrekk er like sannsynlig å bli valgt. For å regne sannsynlighet må vi også vite hvordan valget gjøres.
Ta med hele rekkefølgen
Liste: hold ett valg fast. Tabell: ett trinn i rader, ett i kolonner. Valgtre: følg en hel vei. Multipliser langs en vei, og legg sammen de ulike sluttutfallene som passer.
Ved uavhengige hendelser: P(A og B) = P(A) · P(B). Når det første utfallet endrer det neste, må sannsynligheten på den neste grenen justeres.
Marker riktige kombinasjoner
En rettferdig mynt kastes to ganger, uavhengig. Velg en hendelse og marker alle kombinasjonene som passer. Første bokstav er første kast.
Prøv aktiviteten og undersøk resultatet.
Oppgaver på tre nivåer
Svar på ark eller i Python der det er oppgitt. Prøv selv før du åpner fasiten.
Nivå 1
Lag oversikter.
Nivå 1
Lag oversikter.
- Du har genserne blå og hvit og buksene svart og grå. List alle antrekkene.
Vis fasit og forklaring
Blå–svart, blå–grå, hvit–svart, hvit–grå. Det er 2 · 2 = 4 antrekk. - Et måltid består av én av 3 middager og én av 2 desserter. Hvor mange måltider kan du sette sammen?
Vis fasit og forklaring
3 · 2 = 6. Hver middag kan kombineres med begge dessertene. - List alle utfallene ved to kast med en mynt. Bruk K og M.
Vis fasit og forklaring
KK, KM, MK og MM. Det er 4 utfall. Rekkefølgen teller. - To uavhengige kast med en rettferdig mynt: Finn P(to kron).
Vis fasit og forklaring
Bare KK er gunstig. P(to kron) = 14. - Lag en tabell for valgene A eller B først og 1, 2 eller 3 etterpå. Hvor mange kombinasjoner finnes?
Vis fasit og forklaring
Rad A: A1, A2, A3. Rad B: B1, B2, B3. Tabellen har 2 · 3 = 6 ruter.
Nivå 2
Bruk oversikten til sannsynlighet.
Nivå 2
Bruk oversikten til sannsynlighet.
- Ved to uavhengige kast med en rettferdig mynt: Finn P(nøyaktig én kron).
Vis fasit og forklaring
KM og MK er gunstige. P(nøyaktig én kron) = 24 = 12. - Ved de samme to kastene: Finn P(minst én kron).
Vis fasit og forklaring
KK, KM og MK er gunstige. P(minst én kron) = 34. «Minst én» inkluderer to. - Et lykkehjul med 2 like sannsynlige felt R og B snurres, og en rettferdig mynt kastes uavhengig. Lag et valgtre og finn P(R og kron).
Vis fasit og forklaring
Treet gir RK, RM, BK og BM. Hver gren har sannsynlighet ½. P(R og kron) = 12 · 12 = 14. - To rettferdige terninger kastes uavhengig. Bruk en 6 × 6-tabell til å finne P(sum 7).
Vis fasit og forklaring
36 ordnede utfall. Gunstige er (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). P(sum 7) = 636 = 16. - En kiosk har 3 brødtyper og 4 pålegg. Du velger ett av hvert, tilfeldig og uavhengig med lik sjanse for hvert alternativ. Hvor mange kombinasjoner har ost som pålegg, og hva er P(ost)?
Vis fasit og forklaring
3 kombinasjoner har ost, én for hver brødtype. Det er 12 kombinasjoner totalt. P(ost) = 312 = 14.
Nivå 3
Utvid og vurder.
Nivå 3
Utvid og vurder.
- List alle utfall ved tre myntkast. Hvor mange er det?
Vis fasit og forklaring
KKK, KKM, KMK, KMM, MKK, MKM, MMK og MMM. Det er 2 · 2 · 2 = 8 utfall. - Mynten i forrige oppgave er rettferdig, og kastene er uavhengige. Finn P(nøyaktig to kron).
Vis fasit og forklaring
KKM, KMK og MKK er gunstige. P(nøyaktig to kron) = 38. - To rettferdige terninger kastes uavhengig. Er sum 2 og sum 7 like sannsynlige?
Vis fasit og forklaring
Nei. Sum 2 har bare (1,1): 136. Sum 7 har 6 utfall: 636. Summene er ikke like sannsynlige, selv om de ordnede terningutfallene er det. - En kode har først A eller B og deretter to sifre valgt fra 1, 2 og 3. Sifrene kan gjentas. Hvor mange koder finnes? Hvor mange slutter på 3?
Vis fasit og forklaring
Totalt 2 · 3 · 3 = 18. De som slutter på 3: 2 · 3 · 1 = 6. Hvis alle kodene er like sannsynlige, er P(slutter på 3) = 618 = ⅓. - Et lykkehjul gir R med sannsynlighet ¾ og B med sannsynlighet ¼. Det snurres to ganger uavhengig. De fire fargerekkefølgene er RR, RB, BR og BB. Er hver av dem like sannsynlig? Finn P(nøyaktig én R).
Vis fasit og forklaring
Nei. RR har 916, RB har 316, BR har 316 og BB har 116. P(nøyaktig én R) = 34 · 14 + 14 · 34 = 616 = 38. Vi kan ikke telle fargerekkefølgene som like sannsynlige.
